Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Затем все они сильно удалятся от периодического решения, потом при положительных и очень больших ? они снова будут очень близки к нему; но тогда они представятся в совершенно ином порядке. Если из двух решений первое ближе при ?=— со к периодическому решению, чем второе, то может случиться, что при ?= + оо первое будет более удалено от периодического решения, чем второе, но может также случиться обратное.
Это замечание снова заставляет нас понять всю сложность задачи трех тел и то, насколько трансцендентные функции, которые необходимо придумать для ее решения, отличаются от всех тех, которые мы знаем.
Гетероклинные решения
399. Существуют ли гетероклинные решения?
Мы можем видеть, что если имеется одно, то их имеется бесконечное множество.
В самом деле, пусть Мп — точка, принадлежащая периодической системе; пусть М0А0 и М0В0 — две асимптотические кривые, сходящиеся в этой точке М0, причем одна первого, а другая второго семейства. Мы видели только что, каким образом эти кривые пересекаются, определяя гомоклинные двояко-асимптотические решения.
Пусть теперь М'0 — точка, принадлежащая другой периодической системе; пусть М'0А'п, М'^Вц — две асимптотические кривые, причем М'аА'0 первого, Д/'Бд — второго семейства.
Предположим, что М'0А'0 пересекает М0В0 в ()0; это пересечение будет соответствовать гетерокливному двояко-асимптотическому решению.
Но если эти две кривые пересекаются в ()0, то они будут также пересекаться в бесконечно многих точках ()я — последующих точки ()0.
Я уточняю; я предполагаю, например, что периодическая система, частью которой является М0, состоит из пяти точек Мй, Мц М2, М3, М4; тогда пятая последующая любой точки кривой М0В0 также будет находиться на этой кривой и, вообще, если @0 лежит на этой кривой, то это же будет и с ее п-й последующей (}п, лить бы п было кратным пяти.
Предположим также, что периодическая система, частью которой является М'й, состоит из семи точек; тогда, если ()0 лежит па кривой М'0А'0, то это же будет и с ее п-й последующей , лишь бы п было кратным семи.
Итак, если две кривые имеют пересечение в (?„, то они будут пересекаться также в @я, лишь бы п было кратным тридцати пяти.
Итак, пусть (?0110(2п — дуга кривой М0В0, а (?,До<?я — ДУ1’» м‘сЛ',; сово купность этих двух дуг, имеющих одни и те же концы, образует замкнутую кривую. Относительно этой замкнутой кривой мы можем рассуждать, как в п. 396; мы видим, следовательно, что если две дуги не имеют других общих точек, кроме их концов, то эта замкнутая кривая не имеет двойной точки и ограничивает область, аналогичную области к0 пунктов 395 и 396.
342
Новые методы небесной механики. III
Если две дуги имеют другие общие точки, кроме их концов, то можно найти две другие дуги, составляющие часть двух дуг (?0Н0(2п, (?0К0(2п, не имеющие других общих точек, кроме их концов, и ограничивающие область, аналогичную я0. Относительно этой области а0 мы будем рассуждать, как в пунктах 395 и 396, и увидим, что на каждой из этих кривых между двумя любыми точками пересечения с другой кривой можно найти бесконечно много других точек пересечения.
Это рассуждение показывает, что если имеется одно гетероклинное решение, то их имеется бесконечное множество.
400. Если имеется гетероклинное решение, то сеть, о которой мы говорили в п. 397, становится еще более сложной; вместо одной-единственной кривой МйА0, навивающейся на самое себя, никогда себя не пересекая, и пересекающей бесконечно много раз другую кривую М0Ва, мы будем иметь две кривые МдАд, М'0А'0, которые, никогда взаимно не пересекаясь, должны пересекать бесконечно много раз М0В0.
В п. 397 мы определили множество Е'в, относительно точки М0 и асимптотических кривых М0А0, М0В0\ мы могли бы определить аналогичное .множество относительно точки М’п и двух асимптотических кривых М’Лп М'0В'й.
Если гетероклинного решения нет, то эти два множества должны лежать вне друг друга; следовательно, они не могут заполнять полуплоскость.
Если, напротив, гетероклинное решение существует, то эти два множества совпадут. Мы видим, что существование подобного решения, если бы нам удалось его установить, было бы аргументом против устойчивости.
В главе XIII мы изучили ряды Ныокома и Линдштедта, в п. 149 мы доказали, что эти ряды не могут сходиться для всех значений постоянных, которые в них входят. Но один вопрос оставался сомнительным; не могут ли сходиться эти ряды для некоторых значений этих постоянных и, например, не может ли случиться, что сходимость имеет место, когда отношение п11пг равно корню квадратному из рационального числа, не являющегося точным квадратом (см. т. II, стр. 420)?
Но если гетероклинное решение существует, то ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. В самом деле, предположим, что для некоторых значений отношения 7г1//гг ряды Ньюкома и Линдштедта сходятся, и вернемся к нашему способу представления. Решения дифференциальных уравнений, которые соответствовали бы этому значению п^щ, представились бы определенными криволинейными траекториями. Множество этих кривых образовало бы поверхность, допускающую те же связности, что и тор, и эта поверхность пересекла бы нашу полуплоскость по определенной замкнутой кривой С.
