Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Я смогу показать, что эти решения существуют для значений fi, близ ких к единице, но, к сожалению, я еще не в состоянии установить, что они существуют также при малых значениях
405. Мы возьмем две пары сопряженных переменных
^i* т11; ^2> ^2
или же
*1, Vli z2, уг,
полагая
= \Z2xf cos у.; т]. = s/2xt sin yt.
Эта замена переменных не меняет канонической формы уравнений. Мы возьмем
^ = ^(1-10 + 11.^.
Предположим, что F0 — функция, голоморфная по хг и хг, не завися щая от ух и у2; что при х=а.г!2, х2=~Ч2 мы имеем
^п_п dFn __ л dx2 ' dxx
и что при a:1=V2, х2=а?/2 мы имеем
dF о л dF о п.
dx2 ~ ’ dxx '
я предполагаю, что величина а <[ 1.
Из этих предположений вытекает, что если положить ji=0, откуда F=F0, то наши уравнения будут допускать два замечательных периодических решения.
Первое решение, которое я назову а, запишется в виде:
“2 1 п
Хх — 2 I 3-2— 2 ’ У1 — —
?! = acosi, T]1=asini, — 0-
Второе, которое я назову а', запишется:]
1 “г п
— 2 т *^2— 2 ’ ’
^ = 1, т], —0, S2 = acos?, T]2 = asini.
Двояко-асимптотические решения
353
Первое решение соответствует п^—1, п2=0, второе — «1=0, п,= 1; эти два периодических решения не соответствуют, следовательно, одному и тому же значению отношения п^п^.
Для определения я полагаю
приписывая переменной г существенно положительное значение.
Затем я предполагаю, что (если р — очень малое положительное количество) мы имеем при Г > Р
где ф (ш) — функция от а), регулярная для всех вещественных значений о>, периодическая с периодом 2 л и, наконец, обращающаяся в нуль вместе со своей производной при 01=0 и при (О = 7т/2.
Так как функция (1) была бы бесконечной при г=0, т. е. при ?2=1, то я предположу, что при г ^ р функция принимает произвольные значения, однако так, что она остается конечной и непрерывной, как и ее производные первых двух порядков.
Легко проверить, что при р=1, т. е. при Р=Р1, наши уравнения также допускают два периодических решения а и а'; для первого из этих решений МЫ имеем Ш = 0, ДЛЯ второго — (0=7г/2.
Отсюда мы сразу же заключаем, что для всех значений р наши уравнения будут допускать эти два периодических решения.
406. Сейчас мы проинтегрируем наши уравнения в случае р=1 (по крайней мере в предположении, что г всегда остается >р).
Если бы мы предположили сначала, что е=0, то встретились бы с задачей центральных сил, и интегрирование выполнялось бы без труда. Оно будет ничуть не труднее и в общем случае.
В самом деле, метод Якоби приводит к уравнению в частных производных
?! = 1 — Г СОБ Ш, ?2 = 1 — г БШ а),
2
где /г — постоянная. Положим
где к — вторая постоянная, и мы получим
5 = ^2 ^ ]/ к —^^т 2 йг \)2 ^ \>к + еф<2ш. 23 А. Пуанкаре, т. II
354
Новые методы небесной механики. III
Таким образом, общее решение наших уравнений имеет вид
в - 1) Ъ + & - IK = v№* - 2А - г* (г - I)2, (Ei — !) ^ — (Е2 — 1) ^i = № Ф +
rdr
V2hr2 — 2к — г'1 (г — 1)2
du> С 2 dr
hJ -(- t,
к’,
V"2А: —2еф J г ^2hr2 — 2к — г2 (г — 1)2
о
где Л' и к1 — две новые постоянные.
Мы найдем наши два периодических решения а и а', давая постоянным частные значения
к = О, А =у, А'\/2А = О,
А = 0, А = у, к’)/М=%.
Предположим, что мы хотим воспользоваться уравнением (2), чтобы определить г в функции А'+2; если мы дадим постоянным к и А значения, близкие к нулю и а2/2, то г будет периодической функцией t-\-h'. Мы положим
и = п
где число п выбрано так, чтобы г было периодической функцией от и с периодом 2тс. Это число п, которое является чем-то вроде среднего движения, будет, естественно, зависеть от постоянных А и А.
Аналогично, dr/dt будет периодической функцией от и.
При к=0 мы имеем просто
г = 1 + \/2h cos и.
407. Итак, мы имеем два периодических решения О и а', которые представлены двумя замкнутыми кривыми, если мы условимся рассматривать величины t и J] как координаты точки в четырехмерном пространстве. Через каждую из этих кривых проходят две асимптотические поверхности, одна — первого, другая — второго семейства; мы увидим сейчас, что эти четыре поверхности попарно сливаются, как это имело место в п. 403 [уравнение (7)] при пренебрежении е.
В самом деле, чтобы найти уравнения этих поверхностей, достаточно дать постоянным к и А значения 0 и а2/2; таким образом, мы получим
(Ei — 1) Ъ + (Е2 — 1) т]2 = г у'а2 — {г — I)2,
(Ei — !) ^2 — (Ч — !) = ±ЧЩ-
Двояко-асимптотические решения
35&
Таковы уравнения асимптотических поверхностей при р. = 1; мы видим, что нашли только две из этих поверхностей, соответствующие двойному знаку у второго радикала.
Предположим, что функция еф, обращающаяся в нуль при ш = 0 и ш = = тс/2, положительна для всех остальных значений т.
Теперь мы попытаемся составить уравнения асимптотических поверхностей для значений р, близких к 1.
Мы имеем
F0 и F1 — голоморфные функции от Ё и -ц и, следовательно, от г, ш, drjdt и dwjdt.
Уравнения наших поверхностей запишутся в виде
& — 1) Ъ + & — 1) Ъ = г .
где S — функция от /• и ш, удовлетворяющая уравнению в частных производных
F = const,
dr dii> dS 1 dS
в котором производные и заменены на и
