Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Как в п. 225, попытаемся построить функцию Якоби S и положим
S = S0 -j- sS1 + s2S2 ....
Функция S0 получается немедленно; мы будем иметь
w = 9, S°=px + S qdlJ’
где q — функция от у, определенная уравнением (1) и зависящая от двух параметров р и h.
Затем мы находим
dFо ^1 I dF0 dSi . р q (2)
dp dx dg dy 1
В dFJdp, dFg/dq и Fx мы считаем p постоянной и заменяем в них q его значением, полученным из уравнения (1). Следовательно, уравнение (2) — линейное уравнение относительно производных от коэффициенты которого являются заданными функциями от а; и у, зависящими, кроме того, от параметров h и р.
Так как функция Fx периодична по х, то я положу
Л = 2 ф,/”“.
где Ф)П так же, как и производные от F0, зависит только от у.
Я полагаю также
и функция фт будет задана уравнением
lmw*-+ww+<t"=0’ (3)
коэффициенты которого являются заданными функциями от у.
Двояко-асимптотические решения
347
Очевидно, можно проинтегрировать это уравнение в квадратурах.
Попытаемся определить этим путем наши асимптотические поверхности. Сначала мы должны выбрать постоянные hup так, чтобы кривая (1) имела двойную точку; я предположу, кроме того, что эти постоянные та ковы, что каждому значению у соответствуют два вещественных значения q (что имеет место в примере п. 225).
Эти два значения q являются периодическими функциями у, которые становятся равными друг другу в двойной точке, например при у—у0.
Мы можем так же, как это делали в п. 225, считать эти два значения q аналитическим продолжением друг друга.
Тогда функция q оказывается однозначной по у и периодической
с периодом 4п, подобно sin4j-.
Эта однозначная функция будет принимать одно и то же значение при у=-Уо и у=у0+2к.
Если бы вместо одной двойной точки мы имели несколько, то мы снова смогли бы считать q однозначной функцией у с периодом 4п, если бы число двойных точек было нечетным. Если бы, наоборот, это число было четным, то мы имели бы для q два значения, которые не менялись бы ролями, когда у увеличивается на 2 тс, и которые, следовательно, можно было бы рассматривать как две различные однозначные функции от у, имеющие период 2тс.
Для определенности будем предполагать, что мы имеем две двойные точки, соответствующие значениям у0 и уг переменной у.
Отсюда вытекает, что при у=у0 и при y=yv уравнение (1) должно иметь двойной корень, поскольку два значения q совпадают, и, следовательно, производная dF0idq должна обратиться в нуль.
Уравнение (3) является линейным уравнением с правой частью, интегрирование которого сводится к интегрированию уравнения без правой части и, следовательно, к интегрированию уравнения
dFod6=0 4
ар 1 dq ay ' '
откуда
dF\
dp
Функция 0, определенная таким образом, является голоморфной функцией у для всех вещественных значений этой переменной, за исключением значений у=у0, у=Ух, которые соответствуют двойным точкам. Для этих
значений функция 0, играющая роль, аналогичную роли ? = tg у в п. 226,
обращается в нуль или бесконечность.
348
Новые методы небесной механики. III
Затем мы находим
где Ст — постоянная интегрирования, откуда
dg
Чтобы найти уравнения асимптотических поверхностей, мы напишем
приписывая постоянным интегрирования надлежащие значения.
Сначала пренебрежем е; мы примем, следовательно, 5=50, и дадим постоянным к и р=ро значения, соответствующие кривой, имеющей две двойные точки.
С этим приближением дифференциальные уравнения допускают в качестве периодических решений
где у0, q0; у1г qx — координаты двух двойных точек.
Для представления наших асимптотических поверхностей мы можем взять точку четырехмерного пространства, координаты которой (р+а) cos х, (р+а) sin х, (q-\-b) cos у, {у-\-Ь) sin у, где а и b — две положительные постоянные, достаточно большие, чтобы можно было рассматривать только положительные значения р+а и q^b.
Тогда уравнения (5) и (6) представляют две замкнутые кривые этого четырехмерного пространства, соответствующие двум периодическим решениям.
Через каждую из этих кривых проходят две асимптотические поверхности одна первого, другая — второго семейства.
Но с принятой степенью приближения, т. е. если мы пренебрегаем Е, эти четыре асимптотические поверхности попарно совпадают.
В самом деле, уравнениями асимптотических поверхностей будут
dS
р — р0, ?=?„, У = У0,
Р = Ро. 9 = ?i. У ~ 2/н
(5)
(6)
Р=Ро. F0=h.
Как мы видели, уравнение Р0—к допускает два корня, которые сливаются при у —у о и при у = ух, которые не меняются ролями, когда у увеличивается на 2 тс, п которые периодичны по у с периодом 2 тс. Пусть у' и у" —
Двояко-асимптотические решения
349
эти два корня; таким образом, уравнения наших асимптотических поверхностей принимают вид
Р=Ро, 9=5',
Р=Ро, ?=?"?
Но для того чтобы уточнить значение этих уравнений, мы будем различать несколько ветвей наших поверхностей. Мы имеем четыре асимптотические поверхности; каждая из них проходит через одну из кривых (5) или (6) и делится этой кривой на две ветви, которые я обозначу следующим образом:
Поверхность первого семейства, проходящая через кривую (5), будет разделена на две ветви Nl и
