Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Поверхность второго семейства, проходящая через кривую (5), будет разделена на две ветви /У2 и №2.
Поверхность первого семейства, проходящая через кривую (6), будет разделена на две ветви /У3 и /V3.
Поверхность второго семейства, проходящая через кривую (6), будет разделена на две ветви /У4 и N4.
Тогда, с принятой степенью приближения, уравнения этих ветвей будут иметь вид:
Му Р~Р0, 9 = 9', У>У0\ N'1, р~р0, 9 = 9', У<У0>
N2, Р= Ро< 9 = 9", У>Уо> р — р0, 9 = 9", У<У0\
Р = Ро> 9 = 9", У >Уу N'3, р~р0. 9 = 9", У <91;
р = р0, 9 = 9', у>Уй лг;,- р = р0, 9 = 9', у<Уу
Мы ВИДИМ, ЧТО С Этой степенью приближения Две поверхности N4 + N'1 и N4 + N'1 сливаются, как и две поверхности /У2 -|- и /У3 N3.
Итак, перейдем к следующему приближению и возьмем:
Чтобы завершить определение 5^ надо выбрать постоянные Ст.
Для ветвей IV^ и N1 мы должны выбрать эти постоянные таким образом, чтобы функции фт были регулярны при д = д', у = у0; достаточно сослаться на анализ на стр. 735 II тома, чтобы понять, что это условие достаточно, чтобы полностью определить эти постоянные. Я назову 5^ : функцию 5,, определенную таким образом.
Для ветвей /У2 и N2 мы выберем Ст таким образом, чтобы функции были регулярны при 9 = 9", У = У0, и назовем 5; 2 функцию определенную таким образом.
Для ветвей N3 и Nз мы выберем Ст так, чтобы были регулярны при д = д", у = Уг, для ветвей /V* и N4 функции должны быть регу-
350
Новые методы небесной механики. III
лярны при <7= д', у — уг Мы обозначим через и 5^ 4 две функции 5^ определенные таким образом.
Итак, уравнения четырех поверхностей принимают вид
N. + /V;;
лг.+л;,-
л^* + ^;
Р = Ро + ? ?
<1х
д,Б
1, 2
Р = Ро + » Лх
(25
Р = Ро + е Р = Ро + Е
1, 3
<1х СІS1 4.
9 = ?' + е
д=д" + е' <
(7 = 9" + е-
(25^ ] (25, о
(8)
«г у
1, 3
<7 = ?' + е-
(25
1,1
Но важно отметить, что функция например, регулярная при
у — у0, перестает быть регулярной при у = у±, отсюда вытекает, что наши уравнения становятся непригодными даже в качестве первого приближения, как только мы пройдем значение уг.
Для большей доходчивости я ограничусь следующим замечанием:
Пусть у1 и у" — два таких значения у, что
Уо<У’ < У г<У"-
Пусть М0 — точка асимптотической кривой, соответствующая значению у’; пусть Мп — ее га-я последующая; я предполагаю, что мы берем п достаточно большим, чтобы соответствующее значение у было больше у".
Значение, которое следует приписать п, очевидно, зависит от г и неограниченно возрастает, когда е стремится к нулю.
Вот, вообще говоря, значения у, при которых наши уравнения могут служить первым приближением:
2тс;
N1 и 1У2; N. и N^;
У1>У> У о! Уо + > У > Уг!
N'1 и Л^; М'з и
Уо>У>У1-У1>У> Уо-
Если поверхности и , например, пересекаются, то пересечение будет соответствовать гетероклинному двояко-асимптотическому решению, которое при 1= — оо будет очень близким к периодическому решению (5), а при 1=-(-оо — очень близким к периодическому решению (6).
Для исследования этого пересечения сопоставим уравнения и
Р = Ро + ?-
(1х
Р = Ро + е ?
(15
1. 4
(1х
очевидно, пересечение будет задано уравнением
^ (“^1,1 — *^1,4)
Двояко-асимптотические решения
351
Разность Sl t—Slj4 является функцией от а: и у, разложимой по целым положительным и отрицательным степеням
0V*.
Нам важно, что это периодическая функция от х; следовательно, она допускает по меньшей мере один максимум и один минимум; таким образом, уравнение (9) допускает, по меньшей мере, два решения, что сводится к утверждению, что имеется, по меньшей мере, два гетероклинных решения.
Мы доказали бы также, что имеется два решения, соответствующих пересечениям поверхностей iV4 и TVj, два решения, соответствующих поверхностям N2 и N'3, и два — поверхностям N3 и N's.
Предыдущий анализ не дает гомоклинных решений.
404. Возьмем, например,
F0 = —р — ф -)- 2р. sin2 у ~ Уо sin* У1,
F^ = р. cos х sin (у — yQ) sin (у — уг).
Периодические решения (5) и (6), к которым стремятся гетероклинные решения при t=—со и Z=-f-co, тогда суть
x=t, P = q = о, у = у0, x—t, р = <7 = 0, y = yv
Мы заметим, что при р = 0 функция F сводится к —p—q2. Следовательно, при {х=0 функция F зависит только от переменных первого ряда р идипе зависит от переменных второго ряда х и у. Таким образом, функция F имеет форму, рассмотренную в пунктах 13, 125 и т. д.
Однако мы не ограничимся этим примером, который доказывает, что канонические уравнения вида, рассмотренного в п. 13, могут допускать гетероклинные решения.
В самом деле, оба решения (5) и (6) соответствуют одному и тому же значению количеств dxldt и dy/dt, а именно:
йж__.
dt dt
Но эти величины dxldt и dy/dt являются не чем иным, как числами, названными выше пг и пг.
Следовательно, мы видим, что существуют двояко-асимптотические решения, которые при t= — со и при ?=-|-оэ неограниченно приближаются к двум различным периодическим решениям; но эти два периодических решения соответствуют одним и тем же значениям чисел п1 и п„.
352
Новые методы небесной механики. III
Итак, я сейчас построю другой пример, в котором мы увидим уравнения той же формы, что и до п. 13, которые обладают двояко-асимптотическими решениями, неограниченно приближающимися к двум периодическим решениям, которые не только различны, но и соответствуют различным значениям отношения njn2.
