Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 106

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 .. 111 >> Следующая

Множество Е'и, о котором мы только что говорили, должно было бы лежать целиком вне этой кривой или целиком внутри нее.
Двояко-асиаштотические решения
343
Пусть тогда М0 и М'а — две точки, принадлежащие двум различным системам. Если М0 лежит внутри кривой С, а М'0 — вне этой кривой, то множество Е'„ относительно Ма должно быть целиком внутри нее, тогда как множество Е'0 относительно М'0 будет целиком вне ее.
Таким образом, эти два множества не могли бы иметь ни одной общей точки, и гетероклинного асимптотического решения, идущего из Ма в М'р, существовать не могло бы.
Но если мы допустим предположение, высказанное в томе II на стр. 420, которое я только что напомнил, т. е. если бы сходимость имела место для бесконечного числа значений отношения njn2, например, для которых квадрат есть рациональное число, то существовало бы бесконечное множество кривых С, которые отделяли бы друг от друга точки, принадлежащие различным периодическим системам. Это предположение, следовательно, несовместно с существованием гетероклинных решений (по крайней мере, если две точки М0 и Мц, которые мы рассматриваем, или, точнее, соответствующие периодические решения, отвечают двум различным значениям числа njn2) [21].
Сравнение с п. 225
401. Прежде чем пытаться строить примеры гетероклинных решений, вернемся сейчас к примеру п. 225, в котором может быть обнаружено существование гомоклинных двояко-асимптотических решений.
Мы положим
—F = р + д2 — 2р sin2 -|—[iscp (у) cos х,
где (р, х\ q, у) — две пары сопряженных переменных.
Затем построим функцию Якоби S и разложим ее по степеням =
& — + &ie + *^2е2 + • ? ? •
Остановимся на втором члене, пренебрегая е2, и напишем
S — SQ-\- SjE.
Затем мы нашли
50 = А0х + \/2р. J ]/А + sin2 у dy или, приписывая постоянным А0 и h нулевое значение,
^0— ±2\/2р. cos
далее мы нашли
51 ~ вещественной части фе**,
344
Новые методы небесной механики. III
где ф — функция от у, определяемая уравнением
/ф + 2 v/2p. ]/ h+ sin2-|-^ = [мр {у).
Мы положили
t ei = t
и, предполагая, что
Л = 0, <р (г/) = sin у, а =
мы нашли (стр. 734, т. II) два значения ф, соответствующие двум асимптотическим кривым двух семейств. Одно из этих значений
со
t
а другое —
0
Тогда уравнениями двух асимптотических поверхностей будут следующие:
d
р = е— (вещественная часть [фе1*]),
9 = \/2fj. sin y -j- e ^ (вещественная часть [фе**]),
и
р = е-^ (вещественная часть [ф'е**]),
q = \/2fj. sin -7 + е — (вещественная часть [ф'е**]). с. ау
Чтобы найти двояко-асимптотические решения, необходимо искать пересечение этих двух асимптотических поверхностей; нам достаточно, следовательно, приравнять два значения р и два значения q.
Пусть
СО
, f tf“dt — J I + V’- ’ о
и —2 log t.
Двояко-асимптотические решения
345
Мы найдем
^ (вещественная часть [Ле~*и+{*]) = О,
-щ! (вещественная часть [/Щ-”“***]) = О или, полагая J = рс‘ш,
где К — целое.
Таково уравнение двояко-асимптотических решений.
Это уравнение дает нам в действительности два различных решения; одно, соответствующее четным значениям, второе — нечетным значениям К.
402. Можно удивиться тому, что мы нашли таким образом только два двояко-асимптотических решения, тогда как мы знаем, что их бесконечно много.
Следующие приближения также дали бы нам лишь конечное число двояко-асимптотических решений. Каково же объяснение этого парадокса?
В предыдущих пунктах мы видели, что различные двояко-асимптотические решения в бесконечном числе соответствуют различным пересечениям определенной дуги А0Н0С0 с различными последующими другой дуги А0К0С0.
Предположим, что первая из этих последующих, встречающая А0Н0С0, имеет порядок N. Число N будет, очевидно, зависеть от постоянной в и будет тем больше, чем меньше эта постоянная. Оно станет бесконечным, когда в будет нулем.
Но разлагая по степеням е и останавливаясь на произвольном члене разложения, мы как бы считаем е бесконечно малым.
Дуга А0Н0С0 встречает тогда последующие другой дуги А0К0С0 только бесконечно большого порядка, и как раз благодаря этому большая часть двояко-асимптотических решений ускользает от нашего анализа [2г].
Примеры гетероклинных решений
403. Попытаемся перейти к обобщению и положим
Р0 — функция р, д и у, а Р1 — функция р, у, х и у, кроме того, эти две функции периодичны как по х, так и по у.
348
Новые методы небесной механики. III
Рассмотрим кривые
F0=-const, (1)
где мы будем считать р параметром, q и у — координатами точки.
Среди этих кривых наше внимание должны привлечь именно те, которые имеют двойные точки. Эти двойные точки действительно соответствуют периодическим решениям канонических уравнений, когда мы предполагаем, что е равно нулю, а F сводится к F0.
Мы имеем с»2 кривых (1), общее уравнение которых есть
F0=h
и которые зависят от двух параметров puh.
Я только что сказал, что наиболее интересными являются те, которые имеют двойную точку, особенно в случае, когда какие-нибудь из этих кривых имеют две или несколько двойных точек. Тогда мы действительно встретим гетероклинные решения.
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed