Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
11. Мы закончим эту статью кратким рассмотрением важнейших случаев, в которых аналогия достигает точности математического понятия.
(I) Две системы математических объектов, скажем5 и S', таковы, что определенные отношения между объектами из S подчиняются тем же законам, что и отношения между объектами из S'.
Этот вид аналогии между 5 и 5' может быть проиллюстрирован на примере, разобранном в пункте 1; достаточно принять за S стороны прямоугольника, а за S'—грани прямоугольного параллелепипеда.
{1I) Между объектами двух систем, S и 5', существует одно однозначное соответствие, сохраняющее некоторые отношения. Это означает, что если такое отношение имеет место между объектами одной системы, то же отношение имеет место между соответствующими объектами другой системы. Такая связь между двумя системами объектов есть очень точный вид аналогии, она называется изоморфизмом (или голоэдральным изоморфизмом).
(III) Пусть имеется одномногозначное соответствие между двумя системами S и S', сохраняющее некоторые отношения. Такое соответствие называется мероэдральным изоморфизмом (или гомоморфизмом). Он играет большую роль во многих высших областях математики, особенно в теории групп; здесь мы его не будем рассматривать подробно. Мероэдраль-ный изоморфизм можно считать другим весьма точным видом аналогии.
Блестящая идея или «удачная мысль», или «прозрение»— обычные выражения, обозначающие внезапное продвижение вперед в решении задачи (см. Продвижение и достижение, п. 6). Зарождение блестящей идеи с трудом поддается описанию, хотя и знакомо каждому; не
51
лишено интереса отметить, что весьма выразительное описание ее мы встречаем у такого древнего авторитета, как Аристотель.
Большинство согласится с тем, что возникновение блестящей идеи зависит от нашей «проницательности». Аристотель определяет «проницательность» следующим образом:
«Проницательность есть способность путем догадки уловить существенные связи вещей в течение неощутимо малого времени. Так, например, если вы видите, что некто определенным образом разговаривает с богатым человеком, вы можете мгновенно догадаться, что это лицо пытается занять денег в долг. Или, наблюдая, что луна всегда повернута освещенной стороной к солнцу, вы вдруг осознаете причину этого, догадываясь, что луна светит отраженным солнечным светом»1.
Первый пример неплох, но довольно тривиален: чтобы догадаться о чем-нибудь в этом роде, что касается богатых людей и денег, не требуется большой проницательности; пришедшую в голову мысль нельзя в этом случае назвать очень блестящей. Однако второй пример производит, действительно, глубокое впечатление на каждого, кто даст себе труд мысленно перенестись в эпоху, когда писались приведенные выше строки.
Мы должны помнить, что современнику Аристотеля приходилось наблюдать за солнцем и звездами, если он хотел знать время суток, ибо в его распоряжении не было наручных часов. Ему приходилось учитывать фазы луны, если он хотел ночью отправиться в дорогу; тогда ведь не было уличных фонарей.
Он был знаком со звездным небом гораздо лучше современного городского жителя, и его природный ум не был сбит с толку непереваренными обрывками астрономических теорий в интерпретации бойких газетчиков. Он видел луну в виде плоского диска, похожего на диск солнца, но гораздо менее яркого. Он, вероятно, поражался, наблюдая беспрерывные изменения формы и положения луны. Ему случалось наблюдать луну также и днем, во время восхода или захода солнца; при этом он заметил, что «светлая часть луны всегда смотрит на солнце»; это было уже значительным
1 Текст слегка изменен. Более точный перевод см. в кн. William Whewell, The Philosophy of the Inductive Sciences (1847), Vol. 11, p. 131. (Примечание автора.)
52
успехом само по себе. И вот, наконец, он обнаруживает, что фазы луны очень напоминают картину, представляющуюся нашему взору, когда мы с разных сторон смотрим на шар, освещенный наполовину боковым источником света. Он начинает представлять себе солнце и луну не в виде плоских дисков, а в виде круглых тел, одно из которых светит собственным, а другое — отраженным светом.
Он постиг существенную связь явлений, приведя свои прежние представления в новую систему мгновенно, «в течение неощутимо малого времени».
Произошел внезапный скачок в его представлениях; ему в голову пришла блестящая мысль, которую не назовешь тривиальной.
Больцано Бернард (1781—1848), логик и математик1, посвятил значительную часть своего исчерпывающего изложения логики — Wissenschaftslehre — предмету эвристики (т. III, стр. 293—575). Он пишет об этой части своего сочинения:
«Я далек от мысли, что я в состоянии описать здесь какой-либо процесс исследования, который не был бы уже давно известен всем талантливым людям; я не даю никаких обещаний, что вы сможете здесь найти что-либо совершенно новое в этом роде. Но я приложу усилия к тому, чтобы ясно изложить правила и способы исследования, которыми руководствуются все способные люди, не отдавая себе в этом в большинстве случаев никакого отчета. Хотя я далек от иллюзии, что мне удастся даже это, я тем не менее допускаю, что то немногое, что здесь изложено, сможет понравиться иным и получить впоследствии некоторые приложения».
