Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 24

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 79 >> Следующая


1. Пример. Найти х, удовлетворяющий уравнению:

л* —13л" + 36 = 0.

Заметив, что хА=(х*у, мы увидим, что полезно обозначить

у = хг.

Мы приходим к новой задаче: найти у, удовлетворяющий уравнению

у — 13у + 36 = 0.

Новая задача является вспомогательной; мы намерены использовать ее как средство решения исходной задачи. Неизвестное вспомогательной задачи, у, соответственно называют вспомогательным неизвестным.

2. Пример. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны длины трех его ребер, имеющих общую вершину.

Пытаясь решить эту задачу (п. 8), мы можем прийти при помощи аналогии (п. 15) к другой задаче: найти диагональ прямоугольника, если даны длины его двух сторон, имеющих общую вершину.

Новая задача является вспомогательной; мы рассматриваем ее в надежде извлечь из нее некоторую пользу для решения исходной задачи.

3. Польза. Польза, которую мы извлекаем, рассматривая вспомогательную задачу, может носить различный характер. Мы можем использовать результат вспомогательной задачи.

Так, в примере 1, решив квадратное уравнение для у, мы находим, что у может быть равен 4 и 9, и делаем заклю-

66

чение, что либо х2=4, либох2=9. Отсюда мы находим все корни исходного уравнения.

В других случаях нам удается использовать метод решения вспомогательной задачи. Так, в примере 2 вспомогательная задача относится к геометрии на плоскости; она аналогична исходной задаче, относящейся к геометрии в пространстве, но проще последней. Разумно рассмотреть вспомогательную задачу подобного рода в надежде, что она окажется поучительной, что она даст нам возможность освоиться с определенными методами, действиями, с тем аппаратом, который мы затем сможем использовать, решая исходную задачу. В примере 2 выбор вспомогательной задачи оказался очень удачным; тщательно анализируя ее, мы обнаруживаем, что в состоянии использовать и ее метод и ее результат. (См. п. 15 и «В с е ли данные вы использовал и?»)

4. Риск. Время и усилия, которые мы тратим, решая вспомогательную задачу, расходуются не по прямому назначению. Если исследование вспомогательной задачи оказывается неудачным, время и усилия могут оказаться затраченными впустую. Поэтому мы должны обладать опытом разумного выбора вспомогательных задач, руководствуясь при этом различными соображениями. Так, вспомогательная задача может казаться доступнее исходной, она может казаться поучительной или эстетически привлекательной.

Иной раз единственное преимущество вспомогательной задачи состоит в том, что она нова и таит неизведанные возможности; мы выбираем ее, потому что доведены до усталости безуспешными попытками найти подход к исходной задаче.

5. Как ее придумать. Решение исходной задачи часто зависит от того, удалось ли найти подходящую вспомогательную задачу.

К несчастью, не существует безотказного метода, позволяющего находить вспомогательные задачи, так же как не существует безотказного метода, всегда приводящего к решению. Однако существуют вопросы и советы, часто приносящие пользу, такие, как рассмотрите неизвестное. Мы часто приходим к полезным вспомогательным задачам при помощи видоизменения задали.

6. Эквивалентные задачи. Две задачи эквивалентны, если решение одной из них приводит к решению другой.

3*

67

Так, в примере 1, исходная и вспомогательная задачи эквивалентны. Рассмотрим следующие теоремы:

A. Каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°.

B. Если в треугольнике все три угла равны друг другу, то каждый из них равен 60°.

Это две различные теоремы. Их предпосылки содержат различные понятия; в одной из них речь идет о равенстве сторон, в другой — о равенстве углов. Но каждая из этих теорем есть следствие другой. Поэтому задача, состоящая в доказательстве А, эквивалентна задаче, состоящей в доказательстве В.

Если требуется доказать А, можно облегчить эту задачу, введя вспомогательную задачу, состоящую в доказательстве В. Доказать теорему В несколько легче, чем теорему А, и, что еще важнее, мы в состоянии предвидеть, что теорема В проще; нам это кажется вероятным с самого начала. И в самом деле, теорема В, в которой речь идет только об углах, оказывается более «однородной», чем теорема А, в которой речь идет и об углах и о сторонах.

Переход от исходной задачи к вспомогательной задаче называется обратимой, или двухсторонней, или эквивалентной редукцией, если эти две задачи — исходная и вспомогательная — эквивалентны. Так, редукция от А к В (см. выше) обратима, так же как редукция в примере 1. Обратимая редукция представляет собой в известном отношении наиболее важный и желательный способ введения вспомогательной задачи. Однако вспомогательная задача, не эквивалентная исходной, может оказаться также очень полезной (см. пример 2).

7. Цепочки эквивалентных вспомогательных задач часто встречаются в математических рассуждениях. Нам нужно решить задачу А; нам не удается ее решить, но удается обнаружить, что А эквивалентна другой задаче В. Рассматривая В, мы можем прийти к третьей задаче С, эквивалентной В. Продолжая таким же образом, мы сводим CkD и так далее, пока, наконец, не приходим к последней задаче L, решение которой известно или просто. Так как каждая задача эквивалентна предыдущей, то и последняя задача L оказывается эквивалентной исходной задаче А. Таким образом, мы оказались в состоянии вывести решение исходной задачи А из рещения задачи L, которая являлась последним звеном в цепочке вспомогательных задач.
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed