Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 16

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 79 >> Следующая


Любая плоскость, проходящая через медиану CM нашего треугольника, содержит центры тяжести всех параллельных полосок, составляющих треугольник.

Таким образом, мы приходим к заключению, что центр тяжести всего треугольника лежит на упомянутой медиане.

Фиг. 7. Фиг. 8.

Но таким же точно образом он обязан лежать на двух других медианах, т. е. он должен совпадать с точкой пересечения всех трех медиан.

Теперь желательно убедиться чисто геометрическим путем, независимым от всяких механических предположений, что все три медианы пересекаются в одной точке.

5. После того как случай треугольника исследован, слу* чай тетраэдра не представит особенных трудностей. Мы решили выше задачу, аналогичную предложенной; решив ее, мы получили в руки образец, которому мы должны следовать.

Решая аналогичную задачу, которую мы теперь используем в качестве образца, мы считали, что треугольник А ВС состоит из волокон, параллельных одной из сторон, например AB. Теперь мы считаем,что тетраэдр A BCD состоит из воло^ кон, параллельных одному из ребер, например AB.

Середины полосок, составляющих треугольник, лежат на одной прямой, на медиане* соединяющей середину M сто-

роны AB с противоположной вершиной С. Середины волокон, составляющих тетраэдр, лежат в одной плоскости, проходящей через середину М[ребраАВ и противоположное ребро CD (фиг. 8). Эту плоскость MCD мы можем назвать медианной плоскостью тетраэдра.

В случае треугольника мы имели три медианы, каждая из которых содержала центр тяжести треугольника. Поэтому три медианы обязаны были пересечься в одной точке — центре тяжести треугольника.

В случае тетраэдра мы имеем шесть медианных плоскостей, проходящих через середины ребер и противоположные ребра; каждая из них содержит центр тяжести тетраэдра. Поэтому шесть этих медианных плоскостей обязаны пересекаться в одной точке — центре тяжести тетраэдра.

6. Таким образом, задача о центре тяжести однородного тетраэдра решена. В заключение решения желательно чисто геометрическим путем, без всяких механических соображений, доказать, что шесть медианных плоскостей тетраэдра проходят через одну и ту же точку.

Решив задачу о центре тяжести однородного треугольника, мы сочли желательным удостовериться, что три медианы треугольника проходят через одну и ту же точку. Эта задача аналогична предыдущей, но явно проще.

Мы снова можем использовать для задачи о тетраэдре более простую аналогичную задачу о треугольнике (которая ниже будет предполагаться уже решенной). В самом деле, рассмотрим три медианные плоскости, проходяюте через три ребра— DA, DB1 DC с общей вершиной D. Каждая из них проходит через середину противоположного ребра (так, медианная плоскость, проходящая череа DC, проходит через M1 см. фиг. 8). Итак, эти три медианные плоскости пересекаются с плоскостью /\АВС по его трем медианам. Но эти три медианы пересекаются в одной точке (это результат более простой аналогичной задачи). Эта точка точно так же, как и точка D9 принадлежит одновременно трем медианным плоскостям. Прямая, проходящая через две точки, каждая из которых принадлежит трем медианным плоскостям, сама принадлежит всем трем медианным плоскостям.

Мы доказали, что те три медианные плоскости, которые проходят через вершину Dy проходят через одну и ту же прямую. То же самое, конечно, верно относительно тех трех медианных плоскостей, которые проходят через A9 а также через В и через С.

47

Сопоставляя должным образом эти факты, нетрудно показать, что шесть медианных плоскостей проходят через одну и ту же точку. (Три медианные плоскости, проходящие через стороны ДЛВС, пересекаются в одной точке; через эту точку проходят также три прямые, по которым попарно пересекаются эти плоскости. Но, как мы уже доказали, через каждую линию пересечения должна проходить еще одна медианная плоскость.)

7. В пунктах 5 и 6 мы использовали более простую аналогичную задачу, в которой речь шла о треугольнике, для решения задачи, связанной с тетраэдром. Однако эти два примера отличаются друг от друга в очень важном отношении. В пункте 5 мы использовали метод более простой аналогичной задачи, решению которой мы подражали пункт за пунктом. В пункте 6 мы использовали результат более простой аналогичной задачи, не интересуясь тем, как этот результат был получен. Иногда мы можем оказаться в состоянии использовать и метод и результат более простой аналогичной задачи. Даже предшествующий пример показывает это, если рассматривать рассуждения пп. 5 и 6 как различные этапы решения одной и той же задачи.

Наш пример типичен. Решая данную задачу, мы часто можем использовать решение более простой аналогичной задачи; нам может удастся использовать или ее метод, или ее результат, или то и другое. Конечно, в более трудных случаях могут возникнуть осложнения, не имевшие места в нашем примере. В частности, может случиться, что решение аналогичной 'задачи не может быть применено непосредственно к решению данной задачи. Тогда может оказаться полезным пересмотреть решение, видоизменяя его до тех пор, пока не удастся представить решение в форме, применимой к исходной задаче.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed