Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вопросы нашей таблицы, рассматриваемые здесь, очень важны. Приведенный пример ясно показывает, как их применять при построении решения. Они могут помочь нам обнаружить слабое звено в том представлении о задаче, которое мы себе составили. Они могут указать нам отсутствующий элемент. Установив, что мы не использовали в на-
63
ших рассуждениях определенный элемент, мы стараемся ввести его в рассмотрение.
Таким образом, в наших руках оказывается ключ, определенное направление исследования, которое может привести нас к идее решения.
2. Рассматриваемые вопросы оказываются полезными не только при построении решения, но и при проверке его. Чтобы говорить более конкретным образом, предположим, что нам предстоит проверить доказательство теоремы, предпосылка 1 которой состоит из трех частей, причем каждая из них существенно важна для того, чтобы теорема была справедливой.
Это значит, что если отбросить любую часть предпосылки, теорема перестает быть верной. Поэтому доказательство, в котором не использованы все три части условия, будет порочным. Используется ли в доказательстве предпосылка полностью? Используется ли первая часть предпосылки? Где именно? Где используется вторая часть? А третья часть? Отвечая на эти вопросы, мы проверяем доказательство.
Такой способ проверки весьма действенен, поучителен и почти необходим для по-настоящему глубокого понимания теоремы, в особенности, если доказательство ее длинно и громоздко, что прекрасно известно вдумчивому читателю.
3. Вопросы, рассматриваемые здесь, имеют целью выяснить, насколько полно мы вникли в решаемую задачу. Мы, безусловно, неполностью разобрались в задаче, если не приняли в соображение все существенные данные и условия. Понимание задачи не может быть полным и в случае, если мы не знаем смысла какого-либо термина, относящегося к некоторому важному понятию. Поэтому, выясняя, насколько полно мы поняли задачу, нам следует задать себе вопрос: приняты ли нами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче? (См. Определение, п. 7.)
4. Сделанные замечания, однако, нуждаются в некоторых оговорках и ограничениях. Они могут применяться непосредственно в том виде, в каком они изложены выше, лишь к задачам, которые «правильно поставлены» и «имеют смысл».
Правильно поставленная и имеющая смысл «задача на нахождение» должна содержать все необходимые данные,
1 См. подстрочное примечание на странице 33. (Ред.)
64
ни одно из которых не должно быть лишним; ее условие должно быть в точности достаточным, не будучи ни противоречивым, ни чрезмерным. Решая такую задачу, нам, конечно, предстоит использовать все данные и все условие.
Объектом «задачи на доказательство» является некоторая математическая теорема. Если задача правильно поставлена и имеет смысл, каждая часть ее предпосылки должна быть существенно необходимой для справедливости заключения. Доказывая такую теорему, мы, конечно, обязаны использовать все части ее предпосылки.
Математические задачи, предлагаемые в традиционных школьных задачниках, как правило, бывают правильно поставленными и имеют смысл. Однако на это нельзя очень полагаться; при малейших сомнениях на этот счет мы должны спросить себя: возможно ли удовлетворить условию? Пытаясь дать ответ на этот вопрос или другой, подобный ему, мы можем прийти к уверенности, по крайней мере до некоторой степени, что наша задача поставлена должным образом.
Вопрос, стоящий в заголовке настоящей статьи, и другие, связанные с ним, могут применяться в их рассмотренных выше формах лишь в случае, когда мы знаем, что данная задача имеет смысл и правильно поставлена, или по крайней мере если мы не имеем оснований подозревать противное.
5. Существуют нематематические задачи, которые в определенном смысле «правильно поставлены». Например, хорошие шахматные задачи обязаны иметь лишь одно решение, на доске не должно быть лишних фигур и т. д.
Практические задачи, однако, как правило, далеки от того, чтобы быть правильно поставленными. Применять в этом случае вопросы, рассмотренные в данной статье, можно лишь пересмотрев их самым тщательным образом.
Вспомогательная задача — это задача, которую мы рассматриваем не ради нее самой, а лишь потому, что надеемся, рассматривая ее, приблизиться к решению другой, исходной задачи. Решение исходной задачи представляет собой цель, которой мы желаем достигнуть; решение вспомогательной задачи есть лишь средство, при помощи которого мы пытаемся достигнуть нашей цели.
Насекомое пытается вылететь наружу через оконное стекло, пытается вновь и вновь, не делая ни одной попытки
3 Заказ № 2650
65
вылететь в соседнее открытое окно, через которое оно проникло в комнату. Человек способен — или по крайней мере ему следует быть способным — действовать более разумным образом. Превосходство человека состоит в том, что он способен обойти препятствие, которое не удается преодолеть «в лоб», что он способен придумать подходящую вспомогательную задачу, если исходная кажется неразрешимой. Поиски вспомогательной задачи представляют собой важный мыслительный процесс. Способность ясно поставить новую вспомогательную задачу, воспринять как новую цель то, что является лишь средством для достижения основной цели,—это тонкое достижение нашего разума. Поэтому очень важно научиться (или научить) разумно оперировать со вспомогательными задачами.
