Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
«Разумна» ли наша задача? Этот вопрос полезен на ранней стадии работы в том случае, если мы сможем легко ответить на него. Если же трудно добиться ответа, то усилия, затраченные на то, чтобы получить его, не будут оправданы, ибо они превысят выигрыш* в интересе. То же самое относится к вопросу: «Возможно ли удовлетворить условию?» — и другим вопросам того же абзаца таблицы. Следует ставить эти вопросы, так как не исключено, что ответить на них будет легко и ответ покажется правдоподобным, но не следует настаивать на них, если трудно получить ответ или он недостаточно ясен.
Соответствующие вопросы для «задач на доказательство» таковы: Вероятно ли, что теорема верна? Или вероятнее, что она неверна? Сама постановка вопроса ясно указывает на то, что мы ожидаем лишь догадку, правдоподобный предварительный ответ.
Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Это
хорошая новость; мы, безусловно, должны быть довольны, вспомнив решенную прежде задачу, связанную с нашей теперешней задачей. Еще более приятно, если связь эта оказывается тесной, а решение простым. В этом случае весьма вероятно, что прежде решенная задача существенно облегчит решение нашей нынешней задачи.
Рассматриваемая ситуация типична и очень важна. Чтобы ясно представить ее себе, сравним ее с ситуацией, возникающей тогда, когда мы занимаемся какой-либо вспомогательной задачей. В обоих случаях наша цель заключалась
61
в том, чтобы найти решение некоторой задачи A1 и мы вводим и рассматриваем другую задачу B1 надеясь извлечь из нее определенную пользу.
Разница состоит в нашем отношении к задаче В. В рассматриваемой ситуации нам удалось вспомнить прежнюю задачу В\ мы знаем ее решение, но не знаем пока, как его использовать. В другом случае нам удалось придумать новую задачу ?; мы знаем (или по крайней мере предполагаем с большой вероятностью), как использовать задачу B1 но пока не знаем ее решения.
Характер наших затруднений в отношении задачи В и составляет всю разницу между обоими ситуациями. Преодолев эти затруднения, мы оказываемся в состоянии использовать В в обоих случаях; мы можем использовать результат В или метод решения (см. Вспомогательная з а д а ч а, п. 3), или, если нам особенно повезло, и то и другое.
В рассматриваемой здесь ситуации мы прекрасно знаем, как решается задача B1 но мы не знаем, как из этого извлечь пользу. Поэтому мы спрашиваем себя: Нельзя ли воспользоваться ею} Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения?
Наше намерение использовать ранее решенную задачу оказывает определенное влияние на то, как мы воспринимаем и осмысливаем данную задачу. Сопоставляя старую и новую задачи, мы вводим в новую некоторые элементы, игравшие важную роль в старой задаче. Например, пусть задача состоите том, чтобы найти сферу, описанную около данного тетраэдра. Это задача, относящаяся к геометрии в пространстве. Мы можем вспомнить решенную ранее аналогичную «плоскую» задачу о построении окружности, описанной около данного треугольника. Далее, мы вспоминаем, что в старой «плоской» задаче важную роль играли перпендикуляры к серединам сторон треугольника. Разумно попытаться ввести что-либо аналогичное в рассматриваемую задачу. Таким образом, мы можем прийти к мысли ввести в нашу новую задачу соответствующие вспомогательные элементы — плоскости, перпендикулярные ребрам тетраэдра и проходящие через их середины. Вооруженные этой идеей, мы легко найдем решение данной пространственной задачи, следуя основным этапам решения аналогичной планиметрической задачи.
Приведенный пример типичен. Рассмотрение решенной ранее родственной задачи побуждает нас ввести некоторые
62
вспомогательные элементы; введение этих вспомогательных элементов позволяет нам извлечь все, что можно из прежней задачи. Именно это мы имеем в виду, когда, размышляя о том, как воспользоваться прежней задачей, мы задаем себе вопрос: не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?
Вот теорема, связанная с вашей и уже доказанная. Это видоизменение рассматриваемого вопроса иллюстрируется примером, рассмотренным в пункте 19.
Все ли данные вами использованы? Благодаря тому, что в процессе решения задачи наши знания непрерывно активизируются, мы понимаем задачу в конце этого процесса глубже и полнее, чем в начале (см. Продвижение и д о с т и ж е н и е, п. 1). Но как обстоят дела в этом отношении в данный момент? Достигли ли мы уже того, что нам нужно? Полностью ли мы поняли задачу? Все ли данные вами использованы? Все ли условие? Соответствующий вопрос, относящийся к «задачам на доказательство», можно сформулировать так: «Всю ли предпосылку теоремы вы использовали?»
1. Чтобы проиллюстрировать сказанное, вернемся к «задаче о параллелепипеде», сформулированной в пункте 8 (и рассматривавшейся в пп. 10,12,14, 15). Может случиться, что ученику придет в голову мысль вычислить диагональ грани, Уиг ~гЬъ, но затем он прочно застрянет на этом месте. Учитель может ему тогда помочь, задав вопрос: все ли данные вы использовали? Едва ли ученик не заметит, что выражение]/а2+&2 не содержит третьего данного числа с. Поэтому он будет вынужден найти применение этому числу. Таким образом, окажется весьма вероятным, что он подме-тит прямоугольный треугольник с катетами, равными VcP+&а и с, гипотенуза которого есть искомая диагональ параллелепипеда (другая иллюстрация дана в статье «Вспомогательные элементы», п. 3).
