Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Неточный чертеж может иногда привести нас к ложному заключению; однако опасность этого невелика, да к тому же есть различные средства избежать ее, в частности видоизменение чертежа. Указанная опасность не возникает, если мы сосредоточиваемся на логических связях, отдавая себе отчет в том, что чертеж помогает нам делать заключения, но никоим образом не является их основой; основой наших заключений являются логические связи. [Все сказанное поучительным образом иллюстрируется хорошо известными парадоксами, основанными на намеренной неточности чертежа.]
(II) Важно, чтобы на чертеже все элементы находились между собой в предписанных отношениях, совершенно неважно, в каком порядке они были построены. Поэтому следует выбрать наиболее удобный порядок. Например, иллюстрируя идею трисекции угла, вы хотите построить два угла, аир, так, чтобы a=3?. Отправляясь от заданного угла а, вы не можете построить ? при помощи линейки и циркуля. Поэтому вы выбираете достаточно малый, а в остальном совершенно произвольный угол (J и, отправляясь от него, без труда строите а.
(III) Ваш чертеж должен обладать общностью; отдельные части фигуры не должны быть расположены каким-либо специальным образом. Эти части не должны находиться между собой в кажущихся отношениях, не требуемых условием задачи. Отрезки не должны, например, казаться
77
равными или перпендикулярными, если это не требуется условием задачи. Треугольники не должны казаться равнобедренными или прямоугольными, если они не обязаны быть таковыми. Треугольник с углами, равными 45, 60 и 75°, является в определенном смысле слова наиболее «отдаленным» и от равнобедренного и от прямоугольного1. Если вы хотите рассматривать треугольник «общего вида», уместно брать именно указанный треугольник, или не очень от него отличающийся.
(IV) Чтобы подчеркнуть различную роль различных линий чертежа, можно применять жирные и тонкие линии, сплошные и пунктирные линии или линии различного цвета. Линию следует лишь слегка намечать, пока вы не убедились в том, что она понадобится вам в качестве вспомогательной. Данные элементы можно чертить красным карандашом, другие важные части выделять другим цветом; так, например, одинаковым цветом можно изображать пары подобных треугольников и т. д.
(V) Следует ли для иллюстрации пространственной задачи пользоваться трехмерными моделями или же плоскими чертежами на бумаге или доске?
Трехмерные модели очень желательны, однако требуют больших хлопот для своего изготовления или средств для приобретения. Таким образом, нам приходится довольствоваться плоскими чертежами, хотя их нелегко сделать выразительными. Экспериментирование с картонными моделями очень полезно для начинающих. Неплохо иллюстрировать геометрические понятия на предметах повседневного обихода. Так, коробка, кирпич или классная комната дают прекрасное представление о прямоугольном параллелепипеде; карандаш — о круговом цилиндре, абажур — об усеченном круговом конусе и т. д.
4, Чертежи на бумаге легко чертятся и легко запоминаются. Плоские фигуры особенно хорошо нам знакомы, задачи, связанные с плоскими фигурами, особенно доступны. Из этого обстоятельства мы можем извлечь существенную пользу, если нам удалось придумать подходящее гео-
1 Пусть углы треугольника равны а, ?, у, причем 90°>а>р>^. Тогда по крайней мере одна из разностей 90°—а, а—?, ?—уменьше 15° исключением случая, когда а= 75°, ?=60°, f=45°. Действительно, 3(90o~a) + 2(«-?) + (?-T) =
(Примечание автора.—Ред.)
78
метрическое представление некоторых негеометрических объектов. В этом случае мы оказываемся в состоянии применить к негеометрической задаче наши способности к решению геометрических задач.
Действительно, геометрические представления негеометрических объектов в виде всевозможных графиков и диаграмм применяются во всех науках; не только в физике, химии и других естественных науках, но также в экономике и даже в психологии.
Применяя подходящую геометрическую интерпретацию, мы пытаемся выразить все на языке геометрических фигур, свести любую задачу к задаче геометрической.
Таким образом, если даже мы имеем дело не с геометрической задачей, мы можем попытаться сделать чертеж. Прозрачная геометрическая интерпретация исходной негеометрической задачи может оказаться важным шагом на пути к ее решению.
Головоломки. В пункте 3 мы указывали, что вопросы и советы нашей таблицы полезны при решении всякого рода проблем, независимо от характера их содержания. Любопытно проверить, насколько они пригодны при решении головоломок.
Рассмотрим следующую головоломку. Возьмем, например, слова
Ay! Один тетерев лире!
Задача заключается в том, чтобы найти «анаграмму», т. е. надо так переставить буквы, содержащиеся в данных словах, чтобы получилось одно существительное (в именительном падеже, единственного числа). Интересно отметить, что при решении этой головоломки некоторые вопросы нашего списка вполне уместны и даже стимулируют наши мысли.
Что неизвестно? Слово.
Что дано? Четыре слова: Ay один тетерев лире.
