Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
55
колеблется, интерес надает, мы устаем от задачи, наши мысли начинают отвлекаться, и есть опасность, что мы совсем упустим задачу. Чтобы избежать этого, мы должны поставить себе новый вопрос, связанный с задачей.
Этот новый вопрос раскрывает перед нами неиспробован-ные возможности создания связей с ранее приобретенными знаниями, он вселяет надежду на установление новых полезных связей. Новый вопрос вновь овладевает нашим интересом потому, что видоизменяет задачу, выявляя новые ее стороны.
4. Пример.Итт объем усеченной пирамиды с основаниями, имеющими форму квадрата, если даны: сторона нижнего основания а, сторона верхнего основания Ь и высота h.
Эта задача может быть предложена классу, который знаком с формулами объема призмы и пирамиды. Если учащиеся не предложат какие-нибудь свои соображения по решению задачи, то учитель может начать решение с варьирования данных задачи. Начнем с рассмотрения усеченной пирамиды, у которой а>&. Что произойдет, если увеличивать сторону Ь до тех пор, пока она не станет равной а? Усеченная пирамида превратится в призму, и интересующий нас объем будет равен а2Л. Что произойдет, если уменьшить сторону Ь до 0? Усеченная пирамида превратится в пирамиду, и ис-
a2h
комый объем будет равен -у
Такое варьирование данных усиливает прежде всего интерес к задаче. Кроме того, оно может натолкнуть нас на мысль о том, что можно как-нибудь использовать результаты приведенных случаев с призмой и пирамидой. Во всяком случае мы нашли определенные свойства окончательного результата, а именно: окончательная формула должна быть
такова, что приводится к виду a2h при Ь=а и -у при Ь—0.
Выгодно знать заранее свойства результата, который мы ищем. Эти свойства могут натолкнуть на ценные указания. Во всяком случае, когда мы найдем окончательную формулу, мы сможем проверить ее. Таким образом, у нас есть ответ на вопрос: сумеете ли вы проверить результат? (см. эту статью, п. 2.)
5. Пример. Построить трапецию, если даны ее стороны а, Ь, с и d.
Пусть а будет нижнее основание, с — верхнее основание; а и с — параллельны, .но не равны, Ъ и d — не параллельны.
56
Мы можем начать с варьирования данных задачи, если не можем придумать ничего другого.
Начнем с трапеции, у которой а>с. Что произойдет с ней, если уменьшить сторону с до 0? Трапеция превратится в треугольник. А треугольник—знакомая и элементарная фигура, которую мы умеем строить по разным данным. Возможно, нам этот треугольник поможет в построении трапеции. Попытаемся сделать это при помощи одной лишь вспомогательной линии —диагонали трапеции (фиг. 9). Рассматривая этот треугольник, мы видим, что едва ли он нам сможет чем-нибудь помочь. Нам известны две стороны а и d, а мы должны иметь три данных.
Давайте попробуем какой-либо другой способ. Что происходит с трапецией, когда сторона е, увеличиваясь, ста-
новится равной а? Трапеция превращается в параллелограмм. Может быть, использовать его? Изучая чертеж (см. фиг. 10), обращаем внимание на треугольник, который мы прибавили к первоначальной трапеции при построении параллелограмма. Зтот треугольник легко построить по трем известным сторонам b, d и а—с.
Варьируя первоначальную задачу (построение трапеции), мы пришли к более доступной вспомогательной задаче (построение треугольника). Используя результаты вспомогательной задачи, нам легко решить нашу первоначальную задачу (нужно достроить параллелограмм).
Наш пример типичен. Типично также и то, что наша первая попытка потерпела неудачу.
Возвращаясь к решению, мы можем, однако, заметить, что первый вариант был не так уж бесполезен. Он имел свой смысл, а именно: он навел нас на мысль об использовании треугольника в качестве приема решения задачи. В самом деле, мы пришли ко второму удачному варианту, видоиз-
67
меняя первый. Мы варьировали сторону с, сначала уменьшая ее, затем увеличивая.
6. Как и в вышеприведенном примере, нам часто приходится рассматривать различные видоизмененные варианты задачи. Мы должны варьировать задачу, находить различные формулировки ее, изменять ее до тех пор, пока, наконец, не удастся найти что-нибудь полезное. Неудача может нас кое-чему научить, в неудачном варианте может быть скрыта хорошая идея, и мы можем прийти к более удачному варианту, видоизменяя неудачный. После ряда попыток мы очень часто, как в вышеприведенном примере, приходим к доступной вспомогательной задаче.
7. Имеется ряд определенных способов варьирования задачи, которые часто полезны. К ним принадлежат, например, такие, как возвращение к определениям, разложение и составление новых комбинаций, введение вспомогательных элементов, обобщение, специализация и использование аналогии.
8. Большое значение для правильного пользования нашей таблицей имеет то, что говорилось выше (п. 3) о новых вопросах, которые могут оживить наш интерес к поискам решения задачи.
Чтобы помочь своим ученикам, преподаватель может воспользоваться нашей таблицей. Если ученик успешно справляется с задачей, то он не нуждается в помощи, и учителю следует вместо того, чтобы ставить перед ним какие-либо вопросы, дать ему возможность работать самому. Совершенно очевидно, что для развития у него самостоятельности это полезнее. Но, разумеется, если ученик затрудняется в решений, учителю следует постараться найти соответствующий вопрос или совет, чтобы помочь ему. Иначе есть опасность, что задача надоест ученику и он бросит ее или, потеряв интерес к ней, сделает какую-нибудь грубую ошибку.
