Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
8. Всегда желательно предугадать результат или, по крайней мере, некоторые его черты с той или иной степенью правдоподобия. Такие правдоподобные догадки часто основываются на аналогии.
Так, пусть нам известно, что центр тяжести однородного треугольника совпадает с центром тяжести трех его вершин (т. е. трех материальных точек одинаковой массы, помещенных в трех вершинах треугольника). Зная это, мы можем предположить, что центр тяжести однородного тетраэдра совпадает с центром тяжести его четырех вершин.
43
Такая догадка есть «заключение по аналогии». Зная, что треугольник и тетраэдр похожи друг на друга во многих отношениях, мы высказываем догадку, что они похожи друг на друга еще в одном отношении. Было бы нелепо из правдоподобия таких догадок выводить их истинность, но было бы так же (и даже еще более) нелепо пренебрегать этими правдоподобными предположениями.
Заключение по аналогии есть самый обычный вид рассуждения, возможно и самый важный. Оно приводит нас к более или менее правдоподобным предположениям, которые могут подтвердиться или не подтвердиться опытом или более строгими рассуждениями. Химик, экспериментирующий на животных, чтобы предсказать действие своих препаратов на человека, делает выводы по аналогии. Так же поступил и один мальчуган, которого я знал. Его любимую собаку собирались вести к ветеринару, и он спросил:
«А кто такой ветеринар?»
«Тот, кто лечит животных».
«А какое животное лечит животных?»
9. Заключение на основании аналогии, связывающей много параллельных фактов, обладает большей убедительностью, чем сделанное на основании меньшего числа фактов. Однако их качество важнее их количества. Выясненная аналогия обладает большей ценностью, чем отдаленное сходство; факты, приведенные в систему, в состоянии натолкнуть нас на более глубокие идеи, чем факты, собранные случайным образом.
Выше (в п. 8) мы высказали предположение о центре тяжести тетраэдра. Это предположение основывалось на аналогии; случай тетраэдра аналогичен случаю треугольника. Мы можем сделать наше предположение более правдоподобным, рассматривая еще один аналогичный случай — случай однородного прямолинейного отрезка.
Аналогию между отрезком, треугольником и тетраэдром мы обнаруживаем, сравнивая эти фигуры с различных точек зрения. Отрезок принадлежит некоторой прямой, треугольник — плоскости, тетраэдр — пространству. Прямолинейный отрезок есть простейшая одномерная ограниченная фигура; треугольник есть простейший многоугольник; тетраэдр — простейший многогранник.
Отрезок имеет два граничных элемента нулевого измерения (две граничные точки)-,внутренние тоздш отрезка образуют одномерное множество.
49
Треугольник имеет три нульмерных и три одномерных граничных элемента (три вершины, три стороны); внутренние точки образуют двумерное множество.
Тетраэдр имеет четыре нульмерных, шесть одномерных и четыре двумерных граничных элемента (четыре вершины, шесть ребер, четыре грани); внутренние точки образуют трехмерное множество.
Составим таблицу из этих чисел .Последовательные столбцы содержат число нуль-, одно-, дву- и трехмерных элементов; последовательные строчки относятся к отрезку, треугольнику, тетраэдру:
2 1
3 3 1
4 6 4 1
Очень небольшого знакомства с биномиальными коэффициентами достаточно, чтобы усмотреть в этой таблице часть треугольника Паскаля. Мы обнаруживаем замечательную закономерность, связывающую случаи отрезка, треугольника, тетраэдра.
10. Если мы убедились в том, что имеется тесная связь между сравниваемыми объектами,«заключение по аналогии», подобное тому, которое мы сейчас выскажем, приобретает в наших глазах больший вес.
Центр тяжести однородного отрезка совпадаете центром тяжести его двух граничных точек. Центр тяжести однородного треугольника совпадает с центром тяжести его трех вершин. Не можем ли мы подозревать, что центр тяжести однородного тетраэдра совпадает с центром тяжести его четырех, вершин?
И далее: центр тяжести однородного отрезка делит расстояние между его граничными точками в отношении 1:1. Центр тяжести треугольника делит расстояние между любой вершиной и серединой противоположной стороны в отношении 2:1. Не можем ли мы подозревать, что центр тяжести однородного тетраэдра делит расстояние между любой вершиной и центром тяжести противоположной грани в отношении 3:1?
Кажется крайне невероятным, чтобы догадки, подсказанные этими вопросами, оказались неверными; чтобы такая изящная закономерность рухнула. Чувство того, что гармоничное и простое не может оказаться обманчивым, владеет исследователем и в математических и в других науках и
60
прекрасно выражается латинской поговоркой: simplex sigillum veri, т. е. простота — печать истины.
Все предшествующее наводит на мысль, что рассмотренные факты допускают распространение на n-мерный случай. Кажется невероятным, что то, что оказалось верным для трех первых чисел измерений (п=± 1,2,3), окажется неверным для больших значений п. Это предположение есть «заключение по индукции»; оно иллюстрирует то, что индукция естественным образом основывается на аналогии. См. И н-дукция и математическая индукция.
