Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 13

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 79 >> Следующая


«Доказать, что ВС—В'С».

«Постарайтесь вспомнить знакомую теорему с таким же или подобным заключением».

«Да, я знаю теорему, которая заканчивается так: «...тогда два отрезка равны». Но она сюда не подходит».

«Не требуется ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней теоремой?»

«Скажите, каким образом можно доказать, что BC = =В'С, если на чертеже ВС и В'С никак не связаны?»

«Использовали ли вы предпосылку? В чем она состоит?»

«Мы предположили, что АВ\\А'В' и АС\\А'С. Да, конечно, это нужно использовать».

«Всю ли предпосылку вы уже использовали? Вы говорите, что АВ\\А'В\ Известно ли вам еще что-нибудь об этих отрезках?»

2*

35

«Да. AB=A'В' по построению. Эти отрезки параллельны и равны друг другу. И отрезки AC и А'С тоже».

«Два параллельных отрезка равной длины — любопытная конфигурация! Не встречалась ли она вам прежде?»

«Конечно! В параллелограмме! Нужно только соединить А и А', В и В', С и С».

«Мысль недурна. Сколько теперь у вас на чертеже параллелограммов?»

«Два. Нет, три. Нет, два. Т. е. относительно двух можно сразу доказать, что они—параллелограммы. Имеется и третий, который как будто тоже параллелограмм. Думаю, что мне удастся доказать, что он на самом деле параллелограмм. А тогда все доказательство будет закончено!»

И прежние ответы учащегося свидетельствовали о том, что он сообразителен. Но последнее его замечание не оставляет в этом никакого сомнения.

Этот учащийся оказался в состоянии догадаться об определенном математическом факте и четко различать между догадкой и доказательством. Ему также известно, что догадки могут быть более или менее правдоподобными. Он безусловно вынес пользу из своих занятий математикой; он приобрел опыт в решении задач, он в состоянии найти удачную идею и использовать ее.

20. Задача на определение скорости процесса. Вода поступает в конический сосуд со скоростью г {объем воды,

Препол агается, что учащимся известны простейшие правила дифференцирования и понятие «скорости изменения» переменной величины.

«Что дано?»

«Радиус основания конуса а =4 м\ высота конуса 6=3 M9

поступающей в единицу времени). Сосуд имеет форму прямого кругового конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз] радиус основания равен а\ высота

ь конуса равна Ь.

Фиг. 6.

Найти скорость подъема уровня воды в момент, когда высота воды равна у. Найти числовое значение неизвестного, если а =4 м,

6=3 м, г =2 -^—, у=Л м.

86

Лі5

скорость, с которой вода наливается в сосуд, г =2-

и высота воды в определенный момент */=1 м».

«Правильно. Задача поставлена, видимо, так, чтобы натолкнуть вас на мысль, не обращая пока внимания на числовые значения данных величин, выразить неизвестное через ау Ь, г, у и лишь потом подставить данные числовые значения в полученное выражение. Я бы так и сделал. Итак, что же неизвестно?»

«Скорость, с которой уровень поднимается, когда высота воды равна у».

«Как это понять? Нельзя ли это выразить другими словами?»

«Скорость, с которой возрастает высота воды».

«А как это понять? Нельзя ли выразить это еще по-другому?»

«Скорость изменения высоты воды».

«Это верно, скорость изменения у. Но что значит «скорость изменения»? Вернитесь снова к определению».

«Скорость изменения функции есть производная».

«Верно. Но есть ли у функция? Как уже сказали, мы не обращаем внимания на числовые значения у. Можем ли мы представить, что у изменяется?»

«Конечно. Высота воды у увеличивается с течением времени».

«Таким образом, функцией чего является уЪ «Времени t».

«Хорошо. Введите подходящие обозначения. Как записать при помощи математических символов „скорость изменения уиЪ

«Хорошо. Итак, это и есть ваше неизвестное. Его нужно выразить через а, &, г, у. Кстати, одно из этих данных есть «скорость». Какое именно?»

«г есть скорость, с которой в сосуд наливается вода».

«Как это понять? Нельзя ли это выразить другими словами?»

«г есть скорость изменения объема воды в сосуде».

«А как это понять? Нельзя ли это выразить еще иначе? Как это можно было бы записать в подходящих обозначениях?»

37

«Что такое V?»

«Объем воды в сосуде в момент времени t». «Прекрасно. Итак, вам нужно выразить ~ через а, 6, ~тг и у. Как вы это сделаете?»

«Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Если вы еще не усматриваете связл

между — и данными, постарайтесь обнаружить какое-нибудь более простое соотношение, которое, возможно, подведет вас к решению».

«Видно ли вам, что имеются другие соотношения между рассматриваемыми величинами? Например, разве у и V не зависят друг от друга?»

«Зависят. Когда возрастает у, V также должно возрастать».

«Это и значит, что имеется некоторое соотношение, связывающее у и V. Каково это соотношение?»

«V есть объем конуса с высотой у. Но мне пока, неизвестен радиус его основания».

«Но тем не менее его можно рассматривать. Назовите его как-нибудь, например л:».
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed