Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
«Доказать, что ВС—В'С».
«Постарайтесь вспомнить знакомую теорему с таким же или подобным заключением».
«Да, я знаю теорему, которая заканчивается так: «...тогда два отрезка равны». Но она сюда не подходит».
«Не требуется ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней теоремой?»
«Скажите, каким образом можно доказать, что BC = =В'С, если на чертеже ВС и В'С никак не связаны?»
«Использовали ли вы предпосылку? В чем она состоит?»
«Мы предположили, что АВ\\А'В' и АС\\А'С. Да, конечно, это нужно использовать».
«Всю ли предпосылку вы уже использовали? Вы говорите, что АВ\\А'В\ Известно ли вам еще что-нибудь об этих отрезках?»
2*
35
«Да. AB=A'В' по построению. Эти отрезки параллельны и равны друг другу. И отрезки AC и А'С тоже».
«Два параллельных отрезка равной длины — любопытная конфигурация! Не встречалась ли она вам прежде?»
«Конечно! В параллелограмме! Нужно только соединить А и А', В и В', С и С».
«Мысль недурна. Сколько теперь у вас на чертеже параллелограммов?»
«Два. Нет, три. Нет, два. Т. е. относительно двух можно сразу доказать, что они—параллелограммы. Имеется и третий, который как будто тоже параллелограмм. Думаю, что мне удастся доказать, что он на самом деле параллелограмм. А тогда все доказательство будет закончено!»
И прежние ответы учащегося свидетельствовали о том, что он сообразителен. Но последнее его замечание не оставляет в этом никакого сомнения.
Этот учащийся оказался в состоянии догадаться об определенном математическом факте и четко различать между догадкой и доказательством. Ему также известно, что догадки могут быть более или менее правдоподобными. Он безусловно вынес пользу из своих занятий математикой; он приобрел опыт в решении задач, он в состоянии найти удачную идею и использовать ее.
20. Задача на определение скорости процесса. Вода поступает в конический сосуд со скоростью г {объем воды,
Препол агается, что учащимся известны простейшие правила дифференцирования и понятие «скорости изменения» переменной величины.
«Что дано?»
«Радиус основания конуса а =4 м\ высота конуса 6=3 M9
поступающей в единицу времени). Сосуд имеет форму прямого кругового конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз] радиус основания равен а\ высота
ь конуса равна Ь.
Фиг. 6.
Найти скорость подъема уровня воды в момент, когда высота воды равна у. Найти числовое значение неизвестного, если а =4 м,
6=3 м, г =2 -^—, у=Л м.
86
Лі5
скорость, с которой вода наливается в сосуд, г =2-
и высота воды в определенный момент */=1 м».
«Правильно. Задача поставлена, видимо, так, чтобы натолкнуть вас на мысль, не обращая пока внимания на числовые значения данных величин, выразить неизвестное через ау Ь, г, у и лишь потом подставить данные числовые значения в полученное выражение. Я бы так и сделал. Итак, что же неизвестно?»
«Скорость, с которой уровень поднимается, когда высота воды равна у».
«Как это понять? Нельзя ли это выразить другими словами?»
«Скорость, с которой возрастает высота воды».
«А как это понять? Нельзя ли выразить это еще по-другому?»
«Скорость изменения высоты воды».
«Это верно, скорость изменения у. Но что значит «скорость изменения»? Вернитесь снова к определению».
«Скорость изменения функции есть производная».
«Верно. Но есть ли у функция? Как уже сказали, мы не обращаем внимания на числовые значения у. Можем ли мы представить, что у изменяется?»
«Конечно. Высота воды у увеличивается с течением времени».
«Таким образом, функцией чего является уЪ «Времени t».
«Хорошо. Введите подходящие обозначения. Как записать при помощи математических символов „скорость изменения уиЪ
«Хорошо. Итак, это и есть ваше неизвестное. Его нужно выразить через а, &, г, у. Кстати, одно из этих данных есть «скорость». Какое именно?»
«г есть скорость, с которой в сосуд наливается вода».
«Как это понять? Нельзя ли это выразить другими словами?»
«г есть скорость изменения объема воды в сосуде».
«А как это понять? Нельзя ли это выразить еще иначе? Как это можно было бы записать в подходящих обозначениях?»
37
«Что такое V?»
«Объем воды в сосуде в момент времени t». «Прекрасно. Итак, вам нужно выразить ~ через а, 6, ~тг и у. Как вы это сделаете?»
«Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Если вы еще не усматриваете связл
между — и данными, постарайтесь обнаружить какое-нибудь более простое соотношение, которое, возможно, подведет вас к решению».
«Видно ли вам, что имеются другие соотношения между рассматриваемыми величинами? Например, разве у и V не зависят друг от друга?»
«Зависят. Когда возрастает у, V также должно возрастать».
«Это и значит, что имеется некоторое соотношение, связывающее у и V. Каково это соотношение?»
«V есть объем конуса с высотой у. Но мне пока, неизвестен радиус его основания».
«Но тем не менее его можно рассматривать. Назовите его как-нибудь, например л:».