Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 12

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 79 >> Следующая


Фиг. 2. Фиг. 3.

«Легко начертить квадрат с двумя вершинами на периметре треугольника или даже с тремя вершинами на периметре!»

«Сделайте чертежЬ

Учащийся чертит фигуру 2.

«Вы сохранили только часть условий и отбросили остальные. Насколько определенным осталось теперь неизвестное?

«Квадрат не определен, если только три его вершины лежат на периметре треугольника». «Очень хорошо! Сделайте чертеж». Учащийся чертит фигуру 3.

«Квадрат, как вы сказали, не определен той частью условий, которую вы сохранили. Как он может меняться?»

«Три вершины вашего квадрата лежат на периметре треугольника, но четвертая вершина пока не там, где она должна быть. Квадрат, как вы сказали, не определен, он может меняться; поэтому его четвертая вершина может перемещаться. Как она может перемещаться?»

32

«Поэкспериментируйте, если угодно. Постройте еще несколько квадратов с тремя вершинами на периметре, как у тех двух, которые уже начерчены. Начертите маленькие и большие квадраты. Каково геометрическое место четвертых вершин квадратов? Как перемещается четвертая вершина, когда меняется квадрат?»

Учитель подвел учащегося вплотную к идее решения. Если учащийся в состоянии догадаться, что геометрическое место четвертых вершин есть прямая, решение у него в руках.

19. Задача на доказательство. Два угла лежат в различных плоскостях, причем каждая сторона одного параллельна соответствующей стороне другого и одинаково с ней направлена. Доказать, что эти углы равны.

Нам предстоит доказать одну из основных теорем стереометрии. Задачу можно предложить учащимся, основательно изучившим планиметрию и знакомым с теми немногими фактами стереометрии, которые подготовляют эту теорему в «Началах» Евклида. (Сформулированная выше теорема, которую мы сейчас докажем, есть 10-е предложение из X 1-й книги Евклида.)

Ниже будут набраны курсивом не только вопросы и советы, взятые из нашей таблицы, но и другие, относящиеся к ним так, как «задачи на доказательство» относятся к «задачам на нахождение». (Взаимное отношение этих задач рассматривается в статье «Словаря» Задачи на нахождение, задачи на доказательство, пп. 5, 6.)

«Какова предпосылка1 теоремы?»

«Два угла лежат в разных плоскостях. Каждая сторона одного параллельна соответствующей стороне другого и одинаково с ней направлена».

«Каково заключение1 теоремы?»

«Эти углы равны».

«Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения».

Учащийся делает чертеж, подобный фигуре 4, и выбирает при большей или меньшей помощи учителя аналогичные обозначения.

1 Вместо терминов «предпосылка теоремы» и «заключение теоремы» в русской литературе часто употребляются названия «условие теоремы» и «утверждение теоремы». В нашем переводе мы следуем терминологии, принятой в книге С. А. Богомолова, Геометрия (систематический курс), Учпедгиз, 1949; эта терминология ближе к применяемой Пойа. (Примечание к-русскому переводу.— Ред*)

2 Заказ № 2650

«В чем состоит предпосылка теоремы?—Сформулируйте ее, используя введенные обозначения».

«2?AC и /В*A1C лежат в различных плоскостях. При этом АВ\\ A9B' и АС\\А'С Кроме того, AB направлена так же, как А'В', a AC так же, как Л'С».

«В чем состоит заключение теоремы?»

«ZBAC=ZB'AC».

«Рассмотрите заключение. И постарайтесь вспомнить знакомую теорему с таким же или подобным заключением».

«Если два треугольника равны, то их соответственные углы равны».

«Прекрасно! Вот теорема, сходная с вашей и уже доказанная. Нельзя ли воспользоваться ею?»

в В

Фиг. 4. Фиг. 5.

«Наверное, можно, но мне еще не ясно, как».

«Не требуется ли тести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней теоремой?»

«В теореме, которую вы так удачно вспомнили, речь идет о треугольниках, именно о двух равных треугольниках. Есть ли у вас на чертеже какие-нибудь треугольники?

«Нет. Но я мог бы их построить. Например, я соединю В к С, В1 и С\ Тогда получатся два треугольника ,A ABC и ДЛ'Я'С». (Фиг.. 5.)

«Неплохо. Но для чего нужны эти треугольники?»

«Чтобы доказать утверждение, что /ВАС=/В'А1Съ.

34

«Хорошо! Если вы это хотите доказать, какие вам тогда нужны треугольники?»

«Мне нужны равные треугольники. Да, ведь, конечно, я могу выбрать В, С и ?', С так, чтобы

AB = AB', AC=AC».

«Превосходно! Так что же вы будете теперь доказывать?» «Я хочу доказать, что треугольники равны:

ААВС=АА'В'С.

Если бы я мог это доказать, отсюда немедленно следовало бы, что /ВАС'= /В*А''С».

«Великолепно! У вас теперь новая цель — доказать новое заключение. Рассмотрите заключение] И постарайтесь вспомнить знакомую теорему с таким же или подобным заключением».

«Два треугольника равны, если три стороны одного соответственно равны трем сторонам другого».

«Неплохо. Любая другая теорема оказалась бы здесь хуже. Теперь вы располагаете теоремой, сходной с вашей и уже доказанной. Нельзя ли воспользоваться ею?»

«Я бы смог воспользоваться ею, если бы я знал, что ВС=В'С».

«Верно! Так какова же теперь ваша цель?»
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed