Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
«Правильно. Что теперь делать с х? Зависит ли х от
уЪ
«Да. Когда возрастает высота воды у, то растет и радиус свободной поверхности воды х».
«Итак, имеется связь между х я у. Что это за связь?» «Это ясно. Из подобия треугольников получаем:
х:у = а:Ь».
«Видите, мы нашли еще одно соотношение. Я не стал бы им пренебрегать. Не забывайте, что вам нужно найти соотношение,- связывающее х и у».
«Понятно. Я могу написать:
«Отлично. Кажется, это последнее соотношение нам лригодится, не так ли? Но мы не должны забывать нашу цель. Что неизвестно?»
«Неизвестно ~ ».
at
ту . du dV
«Вам нужно найти связь между -~, -^- и остальными
величинами.
А у вас есть связь между у, V и остальными величинами. Что нужно сделать?»
«Продифференцировать! Конечно!
dV_тсаУ dy
~dt Ьг df
Вот и все».
«Великолепно! А как насчет числовых значений?» «Если а =4, й=3, ^~=г=2, #=1, то о Tt.16.1 dv
ЧАСТЬ II
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ
ДИАЛОГ
Мы знакомимся с задачей
С чего мне начать? Начните с формулировки задачи.
Что я могу сделать? Представьте себе задачу как целое, как можно яснее и нагляднее. Пока не вдавайтесь в детали.
Чего я смогу этим добиться? Вам нужно понять задачу, освоиться с ней, запечатлеть ее в своем сознании. Сосредоточивая на задаче свое внимание, вы подготовляете свою память к тому, чтобы извлечь из нее все, что может принести вам пользу.
Мы вникаем в задачу
С чего мне начать? Начните опять с формулировки задачи. Начните тогда, когда задача стала столь ясной и столь прочно запечатлелась в вашем сознании, 4tq вы в состоянии на время расстаться с ней без риска забыть ее.
Что я могу сделать? Разделите задачу на главные элементы. Предпосылка и заключение представляют собой главные элементы «задачи на доказательство»; неизвестное, данные и условие — главные элементы «задачи на нахождение». Изучите главные элементы вашей задачи, рассматривая их поодиночке, затем последовательно одну за другой, затем в разнообразных сочетаниях, сопоставляя каждую деталь с другими деталями и со всей задачей в целом.
Чего я смогу этим добиться? Вы сможете разобраться в деталях задачи, которые впоследствии, вероятно, будут играть определенную роль.
Мы ищем плодотворную идею
С чего мне начать? Начинайте с рассмотрения главных элементов задачи. Начинайте тогда, когда в результате предшествующей работы вы их хорошо уяснили себе и-при-
40
вели в определенную систему, и тогда, когда ваша память наиболее ясна и послушна вам.
Что я могу сделать? Рассмотрите задачу с различных сторон и найдите ее точки соприкосновения с вашими, ранее приобретенными знаниями.
Рассмотрите задачу с различных сторон. Делайте упор на различные элементы, исследуйте различные детали, исследуйте одни и те же детали по нескольку раз, но с различных точек зрения, по-разному сопоставляйте детали, подходите к ним с различных сторон. Пытайтесь усмотреть новое в каждой детали, некоторую новую интерпретацию задачи в целом.
Ищите точки соприкосновения с вашими ранее приобретенными знаниями. Старайтесь вспомнить, что вам помогало прежде в подобных случаях. Пытайтесь увидеть нечто знакомое в том, что вы исследуете, и нечто полезное втом, что оказалось знакомым.
На что я мог бы натолкнуться? На плодотворную идею, может быть, на решающую идею, которая мгновенно указала бы путь к цели.
В чем может состоять плодотворность идеи? Такая идея указывает вам весь путь или его часть; она более или менее ясно подсказывает вам, как нужно действовать. Идеи бывают более или менее полные. Вам повезло, если у вас есть хоть какая-нибудь идея.
Что мне делать с неполной идеей? Надо ее рассмотреть. Если она оставляет впечатление полезной в той или иной мере, вам следует рассмотреть ее подробнее. Если кажется, что на нее можно опереться, нужно проверить, как далеко вы можете продвинуться при ее помощи, и вновь рассмотреть создавшееся положение. Ситуация изменилась благодаря тому, что теперь у вас имеется полезная идея. Рассмотрите создавшееся положение с различных сторон и ищите точки соприкосновения с вашими ранее приобретенными знаниями.
Чего я смогу этим добиться? Вам может повезти, вы можете натолкнуться на новую идею. Возможно, следующая идея приведет вас прямо к решению. Возможно, вам потребуется еще несколько удачных идей и после следующей. Тем не менее вам следует быть благодарным за все новые идеи, в том числе и за скромные, и за расплывчатые, и за вспомогательные, уточняющие расплывчатые или улучшающие другие, не о^енЬ удачные. Даже если пока вамнеуда-
41
ется натолкнуться на какую-нибудь ценную новую идею, вы должны быть довольны уже тем, что приходите к более полному, более связному, более однородному восприятию задачи.
Мы осуществляем план
С чего мне начать? Начинайте со счастливой идея, приведшей вас к решению. Начинайте, когда вы уверены в том, что крепко ухватили главную мысль, и чувствуете себя в состоянии проанализировать детали, которые могут понадобиться.
Что я могу сделать? Закрепите свой успех. Выполните во всех деталях те алгебраические или геометрические действия, которые вы предварительно сочли выполнимыми. Убедитесь в правильности каждого шага либо при помощи логических рассуждений, либо при помощи интуитивных рассмотрений, либо, если возможно, обоими способами. Если задача очень сложна, вы можете различать «большие» шаги и «малые» шаги, разделяя каждый большой шаг на несколько малых. Проверяйте вначале большие шаги, а затем переходите к малым.
