Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Чего я смогу этим добиться? Того, что в ваших руках окажется решение, каждый шаг которого будет, без сомнения, правилен.
Мы оглядываемся назад
С чего мне начать? С решения, полного и правильного в каждой своей детали.
Что я могу сделать? Рассмотрите решение с различных сторон и найдите точки соприкосновения с вашими ранее приобретенными знаниями.
Рассмотрите детали решения, стараясь максимально упростить их; обратите внимание на громоздкие части решения и попытайтесь сделать их короче; постарайтесь охватить все решение одним взглядом.
Постарайтесь улучшить малые или большие части решения и усовершенствовать все решение в целом, сделать его интуитивно ясным. Найти для него естественное место в системе ваших ранее приобретенных знаний.
Вглядитесь в метод, приведший вас к решению; постарайтесь выяснить, что в нем является главным, и применить его к другим задачам.
42
Всмотритесь в результат и попытайтесь использовать его, чтобы решить другие задачи.
Чего я смогу этим добиться? Вы можете найти новое, лучшее решение, можете обнаружить новые интересные факты. Во всяком случае, если вы приобретете привычку рассматривать и оценивать полученные решения указанным образом, вы сможете пополнить свои знания новыми, приведенными в стройную систему и готовыми к применению, и развить свои способности к решению задач.
ЧАСТЬ III
КРАТКИЙ ЭВРИСТИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ
Аналогия есть род сходства. Сходные предметы согласуются друг с другом в некотором отношении, аналогичные предметы согласуются в определенных отношениях между их соответствующими частями.
1. Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. В самом деле, отношения между сторонами прямоугольника сходны с отношениями между гранями параллелепипеда:
Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой стороне и перпендикулярна остальным.
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна одной другой грани и перпендикулярна остальным.
Условимся называть сторону «граничным элементом» прямоугольника и грань — «граничным элементом» параллелепипеда. Тогда оба предыдущих утверждения мы сможем объединить в одном, в равной степени применимом к обеим фигурам:
Каждый граничный элемент параллелен и равен одному другому граничному элементу и перпендикулярен остальным граничным элементам.
Таким образом, мы выразили определенные отношения, которые оказались общими для двух сравниваемых систем объектов — сторон прямоугольника и граней прямоугольного параллелепипеда. Аналогия между этими системами заключается в общности отношений.
2. Аналогией проникнуто все наше мышление; наша повседневная речь и тривиальные умозаключения, язык художественных произведений и высшие научные достиже-
44
ния. Степень аналогии может быть различной. Люди часто применяют туманные, двусмысленные, неполные или не вполне выясненные аналогии, но аналогия может достигнуть уровня математической точности. Нам не следует пренебрегать никаким видом аналогии, каждый из них может сыграть определенную роль в поисках решения.
3. Мы можем считать, что нам повезло, если, пытаясь решить данную задачу, мы находим более простую аналогичную задачу.
В пункте 15 в первоначальной задаче речь шла о диагонали прямоугольного параллелепипеда; мы пришли к решению, рассматривая более простую аналогичную задачу, в которой речь шла уже о диагонали прямоугольника. Мы сейчас рассмотрим еще один пример того же рода. Пусть нам нужно решить следующую задачу: Найти центр тяжести однородного тетраэдра.
Эта задача не из легких, если за нее взяться, не зная интегрального исчисления и слабо зная механику; она представляла собой серьезную научную проблему во времена Архимеда или Галилея.
Таким образом, если мы беремся за ее решение, обладая минимальными предварительными познаниями, мы должны оглянуться в поисках более простой аналогичной задачи.
Соответствующая задача на плоскости приходит в голову совершенно естественно:
Найти центр тяжести однородного треугольника.
Теперь у нас два вопроса вместо одного. Но ответить на два вопроса может оказаться проще, чем на один, при условии, что эти два вопроса связаны разумным образом.
4. Отложив временно в сторону первоначальную задачу о тетраэдре, мы сосредоточиваем наше внимание на более простой аналогичной задаче о треугольнике. Чтобы решить эту задачу, мы должны знать кое-что о центрах тяжести. Следующий принцип кажется правдоподобным и естественно приходит в голову.
Если система массS состоит из частей, центры тяжести которых лежат в одной и той же плоскости, то в той же самой плоскости лежит также центр тяжести всей системы S.
Этот принцип дает все, что нам нужно для исследования случая треугольника. Во-первых, из него следует, что центр тяжести треугольника лежит в плоскости треугольника. Во-вторых, мы можем считать, что треугольник состоит из
45
прямолинейных волокон—«бесконечно узких» параллелограммов, параллельных своими основаниями одной из сторон треугольника (стороне AB на фиг, 7). Центр тяжести каждой полоски (как и любого параллелограмма) совпадает, очевидно, с ее центром. Середины полосок лежат на отрезке, соединяющем вершину С, противоположную стороне AB9 с серединой M стороны AB (см. фиг. 7).
