Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
161
В первом туре полковник играл с летчиком, майор — с танкистом, сержант— с пехотинцем и старшина — с кавалеристом. После первого тура рядовой выбыл из турнира. Из-за этого выходными оказались: во II туре — минометчик, в III туре — капитан, в IV туре — сапер, в V туре — лейтенант, в VI туре — танкист, в VII туре — связист. Во II туре полковник играл с артиллеристом, пехотинец — с танкистом, лейтенант—с сержантом. В III туре ефрейтор выиграл у кавалериста, а партии полковника с сапером и майора с минометчиком окончились вничью. Какую воинскую специальность имел каждый?
157. В купе одного из вагонов Москва — Одесса ехали: москвич, ленинградец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались буквами Л, Б, В, Г, Д п Е. В дороге выяснилось, что Л и москвич — врачи, Д и ленинградец — учителя, а туляк и Б — инженеры. Киевлянин, Б и E — участники Отечественное войны, а туляк в армии совсем не служил. Харьковчанин старше Л, одессит старше Б, a E — самый молодой. Б и москвич сошли в Киеве, а Б и харьковчанин — в Виннице. Определить начальную букву фамилии и профессию каждого из этих пассажиров.
158. Десять мальчиков: Александр, Борис, Василий, Георгий, Дмитрий, Евгений, Захар, Иван, Кирилл и Леонид учатся все в разных классах одной средней школы.
а) Старший брат Дмитрия оканчивает семилетку, а младший брат Евгения учится в V классе.
Александр старше Кирилла на один класс, а Леонид старше Евгения на два класса.
б) Василий не оканчивает школу в этом году, Иван при окончании III класса получил похвальную грамоту, Борис — пионервожатый в V классе, а Василий — в IV.
в) Александр, Кирилл и шестиклассник начали сдавать нормы на значок БГТО, а Борис, Евгений и восьмиклассник уже получили значки ГТО.
г) Александр и семиклассник живут на улице Ленина, Георгий и пятиклассник—,на улице Куйбышева, первоклассник и восьмиклассник — на Садовой, а Кирилл и десятиклассник — в переулке Буденного.
д) Борис помогает отстающему Евгению, Иван получает помощь от Дмитрия, Александр — от Георгия.
В каком классе учится каждый из них?
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
РАЗДЕЛ I
планиметрия
В целом ряде вопросов геометрии удобно длинам направленных отрезков, расположенных на одной и той же прямой, приписывать знак; этим часто достигается общность рассуждений, независимость их от частного расположения точек, прямых, окружностей в рассматриваемой фигуре.
Для того чтобы направленному отрезку, лежащему на прямой, приписать знак, прямой придают положительное направление (говорят также, что прямую ориентируют), и тогда длина отрезка, лежащего на этой прямой, считается положительной, если его направление совпадает с положительным направлением прямой, и отрицательной — в противном случае. Длину отрезка AB9 которому приписан знак, будем обозначать так: AB. В тех случаях, когда безразлично, какое из двух возможных направлений на прямой принимается за положительное, в условии задачи (или в решении) об этом и не говорится.
В качестве примера рассмотрим определение степени точки M относительно окружности (О). Проведем через точку M произвольную прямую, пересекающую окружность в точках А и В; степенью точки M относительно окружности (О) называется число
о = Ш • MB
(при этом ориентация секущей роли не играет).
Отсюда сразу следует, что если точка M лежит вне окружности, то а > О, если внутри, то о < 0 и т. д.
Чрезвычайно плодотворным в приложениях к доказательствам и к решениям задач является соотношение
AB+BC = AC
для трех любых точек Л, В и С, лежащих на одной прямой (теорема Шаля). Общность этого соотношения позволяет очень часто проводить рассуждения
фактически, не опираясь на чертеж. Решениям задач - по геометрии придается аналитический характер и при
^*Ч^ этом не теряется геометричность решения.
^чЧч^^Х/<^ Близким к указанному вопросу является вопрос
^^^. об измерении углов. Прежде всего следует заметить,
^4^. что понятие «угол» мы будем применять в геометрии
в различных аспектах: ^ а) углы между двумя прямыми в элементарно
Черт. 2. геометрическом смысле этого слова; при этом две
прямые, если они пересекаются, образуют 4 угла, а если они при этом не взаимно перпендикулярны, то из этих четырех углов — два различных (один острый, другой тупой) (черт. 2). Заметим также, что под словом «угол» здесь и везде в дальнейшем мы часто будем понимать и его меру (величину);
б) угол между двумя векторами; это вполне определенный угол, величина которого изменяется от 0 до тг (черт. 3).
Если векторы коллинеарны и направлены в одну сторону, то угол между ними будем считать равным нулю, а если в разные стороны, то равным it;
ПЛАНИМЕТРИЯ
163
в) ориентированный угол от неориентированной прямой а до неориентированной прямой b — это угол, на который надо повернуть прямую а вокруг любой ее точки, чтобы она стала параллельной или совпала с прямой Ь. При этом повороты, совершаемые в каком-нибудь определенном направлении, мы будем считать положительными, а в противоположном —отрицательными. Углы при этом будем измерять соответственно положительными или отрицательными числами (на чертежах обычно за положительное направление вращения принимается вращение, совершаемое «против часовой стрелки»).
