Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
а + Ь\ + і(а'+ Ь'\) Z с + dl +і (cr + d'\) •
где а, 6, с, d, a', 6', с\ df—данные действительные числа, а X — прини мает все действительные значения?
81. В выражении
х + У (cos в ~Ь ' sin
полагают
_ л:' sin (6 — a) -j- у' sin (0 — а") _ хт sin а -f- у' sin а
sin 6 * ^-" sino •
Доказать, что результат можно представить в виде
[xf -f- у (cos 6' + і sin б7)] (cos a -j- г sin а),
где 6' = а' — а. 82. Пусть
, az 4- Ь 6-2 + а
причем аа — ?6=1. Доказать, что это преобразование — окружность радиуса 1, с центром в начале координат, переводит в себя.
83. Найти наименьшее значение выражения хг-\-2ху-\-Ъуг-\-2х — Ъу — 5. При каких значениях хну это выражение принимает наименьшее значение?
84. Дано равенство Л = а2-+-ая, где А и а — целые положительные числа и 0<я^2. Доказать, что а — приближенное значение корня квадратного из Л, вычисленное с точностью до 1 (с недостатком). Воспользовавшись доказанным, найти два последовательных целых числа, зная, что разность их кубов равна 27 361.
85. На весах производится взвешивание в целых килограммах и при этом
допускается класть гири на обе чашки весов. Доказать, что достаточно
3/2_j
только п гирь для взвешивания любого веса до —^— кг включительно.
Найти расположение гирь при взвешивании 421 кг.
86. Сосуд в 10 л наполнен вином. Требуется разделить это вино поровну на 2 части, имея под руками два пустых сосуда емкостью 7 и 3 і.
87. Пользуясь только одной масштабной линейкой, определить объем обыкновенной бутылки, которую можно частично заполнять водой.
88. Определить в форме неравенств, содержащих рациональные функции от а, 6, с и X, необходимые и достаточные условия всех расположений числа X относительно корней уравнения ах2 -\-bx ~{-с = 0, где Ь2 — Аас > 0 (а, 6, c1 X — действительные числа).
89. Двенадцать полей расположены по кругу; на четырех соседних полях стоят четыре разноцветные фишки: красная, желтая, зеленая и синяя. Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали на те же поля. Как они могут при этом переставляться?
90. Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на 2 чашки весов по 6 гирь на каждой, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют одинаковый вес.
91. Доказать, что все числа вида 2п при различных целых п (положительных) могут начинаться на любую наперед заданную комбинацию цифр.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
155
92. Сколько нулей имеет на конце число 50!?
93. В каждый данный момент направление минутной стрелки часов зависит от направления часовой стрелки. Заменим в часах минутную стрелку часовой, а часовую минутной. Сколько раз в сутки часы после такой замены покажут «возможное» время, т. е. сколько раз направление минутной стрелки будет в точности соответствовать направлению часовой?
94. Какое из двух чисел больше,
999097 или 997999 (без применения таблиц)?
95. Даны два положительных числа: а и Ь. Составить из этих чисел рациональное выражение, величина которого положительна и которое меньше и а, и Ь.
96. Доказать, что если — —|—= 1, с = Yd1 — Ь2, где а > b > 0, то
(X — с)2+ у2 < 4а2.
97. Дано положительное рациональное число г, такое, что г2 < 2. Найти рациональную функцию f (х), такую, что г1 = /(г)>0 и г2 < 2, причем гг > г.
98. Обозначим через M(а, Ь, с, k) наименьшее общее кратное, а через D (а, Ь, с, k) — наибольший общий делитель чисел a, b, с, ..., k. Доказать, что
а) M (a, b)D(a, b) = ab\
б) M (a, b, с) D(a, b)D(b, с) D (с, a) = abcD(a, b, с).
99. Найти все рациональные числа г, для которых cos(rTu) есть число рациональное.
100. Доказать, что любое целое число рублей, большее 7 руб., можно уплатить без сдачи денежными билетами достоинством 3 руб. и 5 руб.
101. Имеется 80 одинаковых монет, причем только одна из них несколько легче остальных. Как определить эту монету посредством четырех взвешиваний на весах с двумя чашечками без гирь?
102. Два игрока по очереди кладут на стол пятикопеечные монеты. Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монету игрок, начинающий игру, чтобы обеспечить себе выигрыш? Стол имеет прямоугольную форму. Монеты можно класть только на свободные места, чтобы они не закрывали друг друга даже отчасти. Каждый из играющих имеет неограниченное количество монет. Сдвигать монеты с мест, на которые они положены, нельзя.
103. Найти последние шесть цифр числа 1001", где
п= 100 1 22222.
104. Определить три последние цифры числа
28". 3"•7"-[-5^. 13/z.
105. Имеется 555 гирь весом 1 г, 2 г, 3 г, . . ., 555 г. Разложить их на три равные по весу кучки.
106. Из пункта Л в другой пункт можно попасть двумя способами:
а) выйти сразу и идти пешком;
б) вызвать машину и, подождав ее определенное время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом оказывается, что если конечный пункт отстоит на 1 км, то на дорогу понадобится 10 мин., если на 2 км, то 15 мин., а если на 3 км, то H)1I2 мин. Скорость пешехода и машины, а также время ожидания машины принимаются постоянными. Сколько времени понадобится для достижения пункта, отстоящего от Л на б км?
