Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
23. (JlJ . 24. (—J .25.-у, если а > b; —, если а < 6; при а = 6 данное
выражение не определено. 26. 2, если а > 0; — 2, если а < 0. 27. 2 [ab -f
30. 1~~а + ^. зі. 0. 32. а + Ь. 33. а — 6, если а > 6; — ~ (а — 6), 1 — 6 + V^l + 0
если а < Ь. 34. у. 35. Ь, если — 1 < b < 1; у , если 36. 0. Указание:
37. 0. 38. л2"'
39. -а3)2 - 40- Tz" 41- а) 2^' б> ~І=2~- ' "^T=TTT-
43.—. 44. л(л —1). 45. *\ . 46.1. 47. 1 f"n* (п2 - //F=T).
A ^a — 0 ^
VT=I + у^г)- 49« 1- 50. |/~у. 51. Так как |дг|>2, то данное
выражение есть действительное число (для всех радикалов берем действительные значения). Обозначая данное выражение через а и воспользовавшись формулой (а 4~ b)3 = a3 -j- б3 -j- За6 (a -f- 6), получим а3 = л:3 — Зх -\- За или
(л: — а) (а2 + ах + X2 — 3) = 0, или (х — а) + + -| (л:2 — 4)J = 0. По условию
] X I > 2. Если I а: | > 2, то + -f ~ (л:2 —- 4) > 0; следовательно, л: — a = 0,
откуда a = х. Итак, если | д: | > 2, то данное выражение равно х; если х = 2, то данное выражение равно 2, а если = —2, то оно равно —2. Итак, а = х при всех X таких, что |л:|>2. 52. | A^y2 + *2Уз + *з>'і — *іУз — л"гУі — *зУг1-53. >/>2 + Q2 + Я2, где
P = *\Уг + x2yz + xsy{ — ххуг — х2Уі — *зУ2. Q = Уі*2 + Уг^з + Уз*і — Уг*і — Уі^з — Уз^2, R = Z\Х2 -j- Z2X3 "і~ — zі-*з — z2X\ — Z3X2.
При Z1 = Z2-Z3 = O получаем YP2 =\Р\.
§ 2. Условные тождества. Преобразование равенств, содержащих иррациональные выражения
2. (а + Zbc + с3)2 = 6 (6 + Зс2)2. 3. я = (г^т)3 4' Решение: РІ^я5--= — a jTa — г,
[хт + хп) ^4а2\хт-\-хп) =хт[\1+хтп ) -Аа2хтп\
* / J(J- 40- - «• *> T1-.' б) 42.
M^)V*-—*/ л. 2 —"A °' а — 2
48.
/?2а а == a2 V^a2 -f- 2or "Y а ~р г2; полагая а = х, получим: рх2 + qx-\-r = 0, q2x2 -4- (2qr — р2а) х + г2 = 0. Умножая первое соотношение на — а2, второе на р и складывая, получим (2qrp — р3а — q3) х = rq2 — рг2; возводя обе части этого равенства в куб, будем иметь (2qrp — ръа — а3)3 а = г3 (q2 — рг)3. 5. Решение:
^Y~a = Y'b-\-Y~c + Y~dJr V~e> а = b + 2Y~b (Y~c + Yd + Y^) •f (V^ + Vd + Y"e)2,^ 4b(Yc + Y~d + Ye)2 = (a--b)2-2 (a-b) (Y с + Yd + Y~e? + (Y 1 + Y~d + Y~~ef, (Y~~c + Y~d + V~e)4-2(a + b) (Y~c + Yd + Y~e)2 + (a-b)2 = 0t
424 -Ответы. Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
С2 + 4c}T'c(}rd + Y~e) + 6c_(V^_ + V~ef + A Vc (Vl + V~ef + (Vd + V'ef -— 2 (a + b)c — 4 (a + b)V с (Vd + V~e) — 2 (a + b) (V~d + V~ef + (a — by = 0, AV~c (Vd+ Ve) U + (Vd + V~ef — a — b] = 2(a + b) с — (a — b)2 — c2 + + (2a + 2b- 6c) (V~d + V~ef — (V d + V~e)\ 16c (Vd + V~ef \c - a - b + (V~d + V~e)2}2 = = 12 (a + b) с - (a - b)2 - c2 + (2a + 2b- 6c) (Vd + Ve)2 - (Vd + /7)4]2, 16c (d + e + 2 Vde) (c — a — b + d + e + 2 Vde)2 = = [2 (a + b) с — (a — b)2 — c2 + (2a + 2b — 6c) (d + e + 2 Vde) — — d2 — Ad Vde — 6de — 4eVde — e2]2, [16c (d + e) + 32c Vde] [(с — a — b + d + e)2 + Ш + + ^(c — a — b + d + e) Ved] = [2(a + b)c — (a — b)2 — c2 + + (2a + 2b — 6c) (d + e) — d2 — 6de — e2 + (4a + Ab — 12c — Ad — Ae) V^d\2, \6c(d + e)[(c — a — b + d + e)2 + Aed] + \28ced (c — a — b + d + e) + + {32c [(с — a — b + d + e)2 -j- Aed] + 64c (d + e) (c — a — b + d + e)} Ved = = [2 (a + b) с — (a — b)2 — c2 + (2a + 2b — 6c) (d + e) —
— d2 — Me — e2]2 + \6ed (a + b — 3c — d — e)2 + + 8 [2 (a + b) с — (a — b)2 — c2 + (2a + 2b — 6c) (d + e) — — d2 — 6de — e2] (a + b — 3c — d — e) Yed, {16c (d + e) (с — a — b + d + e)2 + 6Aced (d + e) + + meed (c — a-b + d + e) — [2(a + b)c — (a — b)2 — c2 + + (2a + 2b — 6c) (d + e) — d2 — 6de — e2]2 — 1Ш (a + b — 3c — d — e)2} = = {8 [2 (a + b) с — (a — b)2 — c2 + (2a + 2b — 6c) (d + e) — —.d2 — 6de — e2](a + b — 3c — d — e) — [32c [(c — a — b + d + e)2 + + Acd) + 6Ac (d + e) (c — a — b + d + e)] }2 ed.
- 6. (^2+^2^^4)3^2702^^2==0. 7. [^(^2 + ^2)2+9^2^2^.^12^
= ЗбЛ^ЗуЗ (Л:2 + ^2)2. 8# X2y2 (^2 4- ^2 _i_ Za2) = я6. 9. [(x2 + y2f — ax + by]3 + + 27abxy (x2 + y2)6 = о.
Глаза IV. Общие свойства уравнений и неравенств
§ 1. Эквивалентность уравнений
1. Нет. a) f(x) = х2 — 2х — 3, ср (х) = х + 1; уравнения /(л*) = 0 и f (х) tf (л:) = 0 имеют одни и те же корни, т. е. эквивалентны; б) f (х) = х2 — 2х — 3, ср (л:) = х — 5; все корни уравнения f(x) = Q (т. е. х — — 1 и х = 3) являются корнями уравнения f (х) ср (а*) = 0, но не все корни уравнения f(x) ср (х) = 0 (именно корень X = 5) являются корнями f (х)^=0; в) f (х)=г-х2 — 2х — 3, ср (л:) = arc sin х\ все корни уравнения f(x) ср (л:) = 0 являются корнями уравнения f(x) = 0, но не все корни уравнения f(x) = 0 являются корнями уравнения f (х) ср (х) = 0 (уравнение f(x) ср (х) = О имеет лишь один корень X — — 1; значение х — 3 не является корнем этого уравнения, ибо выражение arc sin 3 не имеет смысла). 2. Да. Пример: х2 — 2л: — 3 = 0 и (л:2 — 2л: — 3) arc sin (1 — л:) = 0 не имеют общих корней (первое уравнение имеет корни X = — 1 и X = 3, второе уравнение имеет корень л: = 1). 3. Да. Пример: X — 1 = 0 и X — 1 + arc sin (1 + л:) = arc sin (1 + л:) неэквивалентные уравнения (первое уравнение имеет корень х = 1, второе не имеет). 4. Первое уравнение есть следствие второго, но второе (вообще говоря) не есть следствие первого. 5. Второе уравнение есть следствие первого. Уравнения будут эквивалентны, если корни второго уравнения не являются корнями уравнений /2 (л:) = 0 и /4 (л:) = 0. 6. а) При условии, что ни одни из корней первого уравнения не является корнем уравнения /г (х) + Л (х) = 0; б) при условии, что ни один из корней второго уравнения не является корнем первого уравнения; в) при выполнении условий а) и б). 8. Да. 9. Да. 10. Да. 11. Нет. 12. Нет. 13. а) Эквивалентны; б) уравнения эквивалентны, если среди корней уравнения f(x) = ср (л:) нет таких, для которых f(x) < 0(иу (х) < 0); в) эквивалентны; г) эквивалентны; д) эквивалентны, если а Ф 0; если же а = 0, то уравнения будут эквивалентны при условии, что уравнение ? (л:) = 0 не имеет корней; е) эквивалентны; ж) эквивалентны; з) эквивалентны; и) эквивалентны, если
