Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Стороны а, Ь, с считаются заданными. Вычислить ґ и отношение площади круга (Г) к площади треугольника BCB' в функции х.
54. Рассмотрим две сферы (А) и (В) радиусов а и b такие, что одна лежит вне другой. Расстояние между их центрами обозначим через 2d (так что 2d>a + b).
I. Предположим, что a ^b. 1°. Пусть P — какая-нибудь точка, лежащая на сфере (А). Доказать, что существует две, одна или нет ни одной общей касательной к сферам (А) и (В), таких, что сферы (А) эти касательные касаются в точке P в. зависимости от того, пересекает, касается или не пересекает сферу (В) плоскость, касательная к сфере (А) в точке Р.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
413
Как в первом случае можно построить эти две общие касательные?
2°. Рассмотрим плоскость (V)1 проходящую через линию центров AB1 которая пересекает (А) и (В) соответственно по окружностям (а) и (?); точка P берется на одной из полуокружностей, отсеченной от (а) прямой AB; положение точки P на этой полуокружности определяется углом X от луча AB до луча AP (0 ^ X ^ тс); касательная в точке P к окружности (а) есть след на плоскости (V)1 плоскости касающейся сферы (А) в точке Р. Определить дугу полуокружности, на которой должна находиться точка P для того, чтобы через нее проходила по крайней мере одна касательная, общая к сферам (А) и (В); в каких пределах должен быть в таком случае заключен cosX? Плоскость поворотом вокруг касательной к окружности (а) в точке P совмещается с плоскостью (v); при этом общие касательные к сферам (А) и (В) также попадут в плоскость (v). Построить в плоскости (v) совмещение этих касательных.
3°. Рассмотрим все касательные, общие к заданным сферам. Найти на этих сферах геометрическое место точек прикосновения и охарактеризовать размеры соответствующих зон и их площади.
II. Случай равных сфер.
Предположим а = Ь. Обозначим через О середину отрезка AB1 через P и Q — точки прикосновения общей касательной к сферам (А) и (В) с этими сферами и через F— ортогональную проекцию точки О на прямую PQ. 1°. Доказать, что F — середина отрезка PQ и что прямая OF — общий перпендикуляр прямых AB и PQ в случае, если эти прямые не лежат в одной плоскости. Начертить ортогональные проекции фигуры, образованной отрезками AB1 PQ1 AP1 OF и BQ1 принимая последовательно в качестве плоскости проекции: плоскость, параллельную AB и PQ; плоскость, перпендикулярную PQ, и, наконец, плоскость, перпендикулярную AB. 2°. Принимая предположения и обозначения, введенные в I, 2° относительно расположения плоскости (v) и выбора точки P на полуокружности (а), при котором существует, по крайней мере, одна общая касательная к сферам (А) и (В), вычислить в функции a, d и cosX длины отрезков PQ и OF и косинусы углов:
у = COS(OP, OQ)1 Z = COs(FA1 FB)1 U = COs(AP1 BQ).
3°. Полагая cos\ = x и а- = т, выразить у, z и а через тих.
Изучить изменение этих функций при условии, что x = cosX принимает всевозможные значения.
III. Случай неравных сфер. Предположим а > Ь.
1°. Пусть M— какая-нибудь точка, лежащая вне сферы (А) и вне сферы (В). Рассмотрим два конуса вращения: (M1 А) и (M1 B)1 с вершиной M1 описанных соответственно вокруг двух сфер: (А) и (В) (слово «конус» означает здесь ничем не ограниченную коническую поверхность, продолженную в обе стороны от вершины). Доказать, что геометрическое место точек M таких, что конусы (M1 А) и (M1 В) равны, есть сфера (S); определить точки / и J встречи этой сферы с линией центров AB (через / обозначим ту из точек, которая лежит внутри отрезка AB) (для решения этого вопроса можно вычислить сначала синусы половин углов в осевых сечениях конусов (M1 А) и (M1 В) в функции радиусов а, Ъ и расстояний MA и MB).
2°. Доказать, что ортогональные проекции H и К точек / и J на общую касательную к сферам (А) и (В) лежат на сфере (S). Что предста-
414
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
вляет собою прямая HI для треугольника HAB "(а также прямая KJ для треугольника КАВ), если точка H (соответственно К) не расположена на AB? Показать, что если общая касательная к двум сферам (А) и (В) не пересекает их линии центров AB, то точка H есть один из центров гомотетии двух окружностей, полученных в сечении сфер (А) и (В) плоскостью, перпендикулярной IH и проходящей через Н; где находится второй центр гомотетии этих двух окружностей? Изложить окончательные результату для точки К. 3°. Доказать, что геометрическое место ортогональных проекций точек / и У на все общие касательные к сферам (А) и (В) есть два сферических сегмента сферы (S). Вычислить высоту и площадь каждого из них в функции а9 b9 d. Какому условию должны удовлетворять а9 b9 d для того, чтобы эти два сферических сегмента имели бы общую часть. Пусть, наконец, M — точка сферы (S). Как можно определить общие образующие конусов (M9 А) и (M9 В)? Исследовать, в зависимости от различных положений точки M на сфере (S)9 число этих общих образующих.
ОТВЕТЫ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АЛГЕБРА
Глава /. Тождественные преобразования .
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
