Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
+^ + 2^ + ^/(, + ^^)4^-5^2 + 2^-^^^-^; (2)
заметим, что
(AC — В2) (AF-D^) —(AE^ BD)2 = А • Д = 0; (3)
значит, если Ъ = AC—В2 Ф Q, то числитель второго слагаемого правой части равенства (2) принимает вид (АС — В2) у2 + 2 (AE — BD) у + ^Af^Zf^ = = S = [(AC— В2) у + (AE— BD)]2; следовательно, данное выражение принимает вид
а(х+ ВУ + °у _ __А{А1С__В2) [(AC-B2) у + (AE-BD)]2 ^u-v,
u = Va(x +^2^) + ]ґ A(AC-B2) [(AC-В2) у+ (AE-BD)], Vsia(^ + ^±^)-|/" А{Ас1.в2) КАС-В2) у+ (AE-BD)];
где
* Строго говоря, надо доказать еще теорему: если равны тождественно две целые рациональные функции от двух аргументов, то равны их соответствующие коэффициенты.
27*
420 Ответы. Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
V и и — линейные относительно X и у множители (быть может, и с комплексными коэффициентами). Если же АС — В2 = О, то из (3) следует, что AE — BD = Q, и данное выражение [см. (2)] принимает вид
Если /1 = 0, но СфО, то при выполнении соотношения (1) приходим к аналогичному результату (надо рассматривать данное выражение как квадратный трехчлен относительно у). Если, наконец, A = C = O, то данное выражение будет 2Вху -f + 2Dx+ 2Ey+ F = O, а условие (1) принимает вид 2BDE—FB2 = 0. Здесь В ф 0 (ибо при ? = 0 мы не имели бы выражения второй степени относительно X и у);
значит, 2D? = FB, F = —J^ и, следовательно, 2&*:у + 2Dx + 2Ey + =
= 2Bx + "g) + [у + "g) = (25* + 2^) + -g^—произведение двух линейных
множителей. 21. ACF + 2BDE— CD2 — AE2 — FB2 = 0. 22. (дгу + 2л: — у + 1) (ху —
— у + \у Дальнейшее разложение на множители первой степени относительно х
и у невозможно, ибо для первого множителя (см. задачу 20) Л = 2 • — . 1 . ^—-^j —
„\.(±^ф0, для второго ^24'(~і)'°"'1,(т)2^а 23' [1-а-_ ^ (1 + "^2")!2 [ 1 _ а — 6 (1 —1/"2")12. 24. 3 (b + с)_(с + а) (а + Ь). 25. __(а + Ь-\-+ с)(а+гЬ + г2с)(а±г2Ь + гс), где є = —1+2'^3 , г2 = ZzIzlO^. .
26. (д + 6 + с)(а + 6-с)(а —6 + с)(-а + 6 + с). 27. (y — z)(z-x)(x — y). 28. (л: + у + г) (yz + zx+xy). 29. (х2 — уг) (у2 — zx) (z2-xy).. ЗО. (а2 + b2+c2) (be + + ca + ab). 31. (b + c)(c + a)(a + b)(a + b + c). 32. - (y + *) (г + ¦*) (x + + У) (У - *) (* - *) <* - У)- 33. (у - zf + (z- xf + (х- yf = (у - zf +
+ (г - -к)3 + С* — >')3 — 3 (у — z) (z — х) (х — У) + 3 (у — z) (z — х) (х-у) = =¦ 3(у — z) (z — х)(х — у), ибо у — г -f- гг — х + х — у = 0 (см. задачу 25 этого параграфа). 34. — 4(6 — с)(с — а) (а — Ь). 35. — (Ь—с) (с—а) (а—6). 38. — 3(6 — с)(с — _ д) (а — Ь). 37. 4а6с, 38. 4аbe. 39. (6 — с) (с — a) (a — b) (а + b + с). 40. (у — z) (z — — у)(х + у + ^). 41. — 2(b — c)(c-a)(a-b)(a + b + c). 42. \2хуг(х + + y+z). 43. 24а6с. 44. 5 (у — г) (z — х) (х — у) (х + еу + z2z) (х + е2у + ег),
где t=~l+iV* , г2=-1~І}ГЗ . 45. 5(y + z)(z + x)(x + y)(x2 + y2 +
_}_ 22 -j- yz + zx + ху). 46. Указание. Положим b + с — а = х, с + а — b = у, а _|_ ь — с = г; тогда a+b+c=x+y+z и далее см. предыдущий пример; учесть
также, что X2 + у2 + z° + yz + zx + xy =~ [(у + zf + (z + х)2 + (х + у)2]. Ответ:
80а6с (а2 + Ь2 + с2). Другой метод. Положим: b + с = и, b — с = v; тогда данное выражение примет вид (а + и)ъ + (а — af + (v — а)5 — (v + а)5 = \0а (а4 — г/4) -f '+ 20а3 (и2 — V2) и далее а2 — v2 = Abc, а2 + v2 = 2 (b2 + с2) и т. д. Если решать этот пример указанным методом, то предыдущий пример указанной заменой приводится к этому. 47. — (Ь — с) (с — а) (а — Ь) (За2 + 3b2 + Зс2 -f 56с + Ъса + 5ab). 48. — (Ь - с) (с — а) (а — Ь) (а2 + Ъ2 + с2 + 6с + са+ а6). 49. — (Ь—с) (с—а) (а—Ь) (а + -f-6 + c)2. 50. — (у — Z)(Z-X) (х-у) (x + y + z). 51. — (b — с) (с — а) (а — __Ь)(й + Ъ + с)2. 52. (Ь —с)(с —a) (a —b) (a —d) (b—d)(c —d). 53. —16(6 — 2-е) (с-сї) (a-b) (a~-d) (b-d) (c-d). 54. (а + b + с) (2а2 + 2b2 + 2с2 -
п
— be — са — ab). 55. Будем обозначать произведение a1 a2 a3 .,. ап так: JJa^. Тогда требуемые разложения можно записать в виде
ІН-ї+"т)]-
й = 0
2п-1
1) (* + D Ц [* - (cos ? + / sin Д [* - (cos ^ + / sin ^)] ;
й = 1 a = /z f 1
если нужно произвести разложение на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами (причем квадратные множители имеют мнимые
Ответы. § 6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА МНОГОЧЛЕНЫ
421
корни), то следует заметить, что (х— х^)(х— ^2n-k) = я2 — 2л: cos-^ + 1. Ответ: а) х2П- 1 = (х- 1)(х+ I)!! (.** —2*cos — + 1); б) х2П + 1 == IT \х -_(»Ц^Ч<.И^')=И(,--2,-«+1,+ ,); .,
- <* - D U [* - ('» 2^T +' »" 5?")] = <' - » Д (**~ = (, + 1) IJ [х - (cos + і srn -2^=Pr)J JI+1 [* - (cos +
/ 2п(1+ЗА) . . . 2* (1+3Ai)Y] Л Г / 2тс(2 + 3й) . , . 2г.(2 + 3й)\] - (C0S 15 + '5Ш 15 ) J J11* ~ (C0S — if-2 +1 sm 15 JJ •
§ 6. Разные задачи на многочлены
1. (b + с) (а — d) (a + d + Ь — с) (a + d — b + с). 4. -1. 5. Указание. /(*)=/(— х).
Целая рациональная функция от х, обладающая этим свойством, не содержит х в нечетных степенях. 6. Положим т — р = q О 0). Тогда данное выражение можно переписать так:
