Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
этой разности равна 2а. Во втором случае (х^ — а) в силу неравенств с>а>0
CX CX
имеем —--а < 0, — + а < 0, так что приведенные выше радикалы соответственно
CX CX
равны а--— , —а — — , а их разность равна 2а. 31. х = 1, у = 0 и х = 0, у == 1 —
решения второго уравнения. По условию эти решения будут и решениями первого уравнения, значит а-\- d = О, c-\-d = 0, откуда d = —а, c = — d. Теперь первое
уравнение принимает вид — dx2 -f bxy — dy2 -f d = 0. Рассмотрим решение х = —Lr, 1
у = второго уравнения. По условию это и решение первого уравнения, т. е.
/ 1 \2 I] / 1 \2
— d ^j7^ j + ^ у=^ — d [у^) + ^ ~ 0» откуда Ь = 0. Первое уравнение принимает вид — dx2 — dy2 -\- d — 0. Здесь d Ф 0, ибо в противном случае это уравнение было бы тождеством, в то время как второе уравнение не является тождеством. 33. При X = 0 уравнение xy = 1 не имеет решений, значит при ^ = O и первое уравнение не имеет решений. Но при х = 0 первое уравнение принимает вид су2-f-еу-f-/ = 0, и оно не имеет решений тогда и только тогда, когда с = е = 0, f ф 0. Аналогично доказывается, что a = d = 0. Первое уравнение, следовательно, имеет вид bxy -[- / = 0. Но х = у = 1 есть решение уравнения л:у = 1, значит и уравнения 6л:у 4-/=0; следовательно, 6 4-/ = 0. При ьтом b ф 0, так как в противном случае мы имели бы также / = 0 и первое уравнение было бы тождеством, в то время как второе уравнение не является тождеством *). Читателю предлагается решить задачу в случае, если эквивалентность задана над полем действительных чисел. 34. Если a = b = с = 0, то вопрос сводится к эквивалентности уравнений dx -\- еу -f-/ =0 и kx — у 4-/ = 0, что будет иметь место тогда и только тогда, когда d = — ek, / =— el. Если, по крайней мере, одно из чисел a, b или с отлично от нуля, например с Ф 0, то будем рассуждать так: любое решение уравнения (2) является по условию и решением уравнения (1). Значит, уравнение (1) обратится в тождество (относительно х), если в левую часть подставить kx-\~l вместо у; отсюда следует, что квадратный трехчлен су2 + (bx + е) у -j- ах2 -f- dx-\-f относительно у должен делиться без остатка на у — (kx +/). Выполняя это деление, получим в частном су + (b -f- ck) х + е + с/, а в остатке ах2 -f- dx -f-/~r 4- (?* -j- /) (6 + с&) л: + (ftx -j- /) (е -\- сі). Так как этот остаток должен быть равен нулю при всех х, а он представляет собою квадратный трехчлен относительно х, то должны быть равны нулю все коэффициенты — при X2, при X и свободный член остатка:
ck2 + bk + а и о, $/ 4- 2с?/ 4- ft* 4- d = 0. с/2 + el +/ = 0. (А)
*) Изложенное решение сообщено автору научным редактором книги С. И. Новоселовым,
Ответы. § 1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
427
Теперь левая часть уравнения (1) разлагается на два множителя: у — (kx-\-l) и су + (b + ck) х + е + с/. Так как любое решение уравнения (1) должно быть решением уравнения (2), то любое решение уравнения су -\- (b -\- ck) х -\- е -\- cl должно быть решением уравнения у — kx — / = 0, что будет иметь место тогда и только тогда, когда b -\- ck = — ck, е + cl = — cl или
? + 2с& = 0, <? + 2с/ = 0. (В)
Итак, при с Ф 0 уравнения (1) и (2) будут эквивалентны только тогда, когда выполнены условия (А) и (В). Пусть теперь с = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид
(bx + e)y + ax2 + dx+ft (D)
и оно должно быть эквивалентно уравнению
y-(kx + l)=0. (С)
Если b YL е одновременно равны нулю, то уравнения (D) и (С) неэквивалентны Если b к е одновременно не равны нулю, то при делении левой части уравнения (D) на левую часть уравнения (С) получим в частном Ьх-\-е, а в остатке (kx + /) (bx +1) + ах2 + dx + f. Этот остаток будет равен нулю тогда и только тогда, когда
kb + a = 0,
Ib + ek + d = 0, (E)
При выполнении этих условий уравнение (D) примет вид (bx + е). [у — (kx + /) = 0.
Если b Ф 0, то это уравнение удовлетворяется при условии х =--и любом у,
т. е. оно неэквивалентно уравнению (2). Если же b = 0, е Ф 0, то уравнения (1) и (2) эквивалентны; при & = 0 условия (E) принимают вид а = 0, ek + d = 0, /?+/=0; значит, вопрос сводится к уже рассмотренному случаю (а = 6 — с = 0). Итак, при с = 0 уравнения (1) и (2) эквивалентны, если
d е __ / —& ~~ 1 ~ —/ '
35. При доказательстве того, что из уравнения (1) следует одно из уравнений (2), нужно предварительно доказать, что из уравнения (1) следует, что все функции /ь /г. /з—(одного знака, так что при условии выполнимости уравнения (1) /,, /2
и /з можно заменить на \ fx \, If21 и |/3 [. 36. Если]/л: + "[/" у = ]/ .г, то возводя в куб обе части этого равенства и учитывая, что Vх-+Vу = ~\/ z, получим л* +у + + 3 уху z = г, откуда (^ — л: — у)3 = 21xyz. Обратно: если (.г — х — у)3 = 27xyz, то z — л: — у = 3 У^лгуг (1). Соотношение ]/"л: + У у = ]/"z будет выполнено, если будет выполнено соотношение X + у + 3 Vxy {Vx + Vy) = z или 2г—-v—у= (2). Но так как соотношение (1) выполнено, то соотношение (2) будет выполнено тогда и только тогда, когда 3 fxyz = 3fxy(yx + yy},
предполагая, что ху Ф 0, получим V" х -\-у у =у z. Если же ху = 0, то или х = 0 или у = 0. В этом случае (1) имеет вид (в случае, например, у = 0) z — х = 0,
