Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
-f z3— 3xyz\ здесь слагаемое Ax^x2*2 ... хапп, о котором говорилось выше, есть x3y°z°. При этом Gt1 = 3, а2 = 0, Gt3 = O. Находим ср -—P1P2P3 = *3 -4- у3 + ^3 —
— 3xyz — (X + у + zf = — 3 (у + z) X2 — 3 (3yz + z2 + у2) х — 3yz (у + z). Теперь в члене —3*2у мы имеем: A= — 3, Ot1 = 2, а2 = 1, Gt3 = 0. Составляем разность -3(y + z) x2~-3(3yz + z2+y2)x-3yz(y + z) + 3(x + y + z)(yz + zx + xy)~0. Итак, х3 + у3 + г3 — Sxyz = р\ — 3P1P2 = (х + у + zf — 3 (х + у + z) (yz -\~zx + ху). Второй способ (метод неопределенных коэффициентов). Возьмем член X3; для него Gt1 = 3, Ot2 = 0, ot3 = 0. После составления соответствующей разности надо будет рассматривать слагаемое вида х2у, для которого Gt1 = 2, ct2 = 1, Ct3 — 0, затем слагаемое вида xyz, для которого Ot1 = 1, а2 = 1, ot3 = 1. Соответствующие слагаемые, которые надо будет вычитать, будут: Ар\, Bp1P2, Cp3- Итак, х3 + у3 + z3— 3xyz = = А (х + у + z)3 + В (х + у + z) (yz + zx + ху) + Cxyz. Пусть х = у = 0, z = \, тогда 1 = А; пусть z = 0, х = у = 1, тогда 2 = SA + 2В, В = — 3; пусть х = у = = z = \, тогда 0 = 27Л + 9B+ С = 0, С = 0. Итак, х3 + у3 + z3 — 3xyz = = р\ — Зргр2 = (X + у + z)3 — 3 (х + у + z) (уz + zx + ху). Наконец, задача допускает и элементарное решение: х3 + у3 + z3 — 3xyz = (х + у + z) (х2 + у2 -j- z2 —
— yz — zx — xy) = (x + y + z) {(x + y +z)2 — 3yz — 3zx — 3xy\ = (x + y + z)3-
— 3 (x + у + z) (yz + zx + xy). 2. P1P2 — 3p3. 3. p\ — Ap\p2 + Sp1P3. 4. Указание. Составляем таблицу значений аи а2, Gt3 (Gt1 > Gt2 >ot3, Gt1 + а2 + ot3 = 7):
Gt1 Gt2 Gt3
5 2 0
5 1 1
4 3 0
4 2 1
3 3 1
3 2 2
* См., например, А. К. С у ш к е в и ч. Основы высшей алгебры.
Ответы. § 3. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
417
Значит, хУ + л-У + x5z2 + z5x2 + y5z2 + z5y2 = Лр^ + Bp^p3 + Cp1P^ + + Dp\p2p3+Ер\р3 + FplP\ = A(x + y + zf (yz + zx + xyf + В (x + у + zf xyz + + C(x +у+ г) (у z + zx + xyf + D(x +y + z)2 (yz + zx + xy) xyz + E (yz + zx + + xy)2 xyz + F(x+ y + z) x2y2z2.
Следует придавать л:, у и ,г такие значения, чтобы в полученных уравнениях A, B1 С, D1 E1 F определялись постепенно; так, полагая Z = 2, х = у =— 1, находим: — 1 — 1 — 4 + 32 — 4 + 32 = 9 • 2E4 откуда E = 3. Полагая Z = O1 х = у = 1 и г = O9 X = X1 у = 2, получим SA + 2С = 2, 108,4 +24C= 36, откуда A = I1 C = — 3. Полагая х = 2, у = — 1, z = 2 и х = 3, у = — 2, z = 6 (для того, чтобы обратился в нуль член yz + zx + ху), получим: З4 (—4) ? + 3F-4 • 4 = 32— 4 + + 128+ 128 — 4 + 32 и 74 • 3 - (— 2) • 6В + 7 • б2 • З2 • 2F= З5 (— 2)2 + (— 2)5.32 + + 35.62 + 65-32 + (—2)5-62 + 65 (—2)2, откуда 5 = —2, F= — 7. Наконец, полагая x = y = z=\, найдем 6 = 243^+815 + 8^ + 27^ + 9^ + 3/7, откуда D = 6. Итак, хьу2 + х2у5 + x5z2 + z5x2 + ybz2 + z5x2 = (х + у + z)3 (yz + zx + xy)2 — — 2 (x + у + zy xyz — 3 (x + у + z) (у z + zx + xy)2 + 6 (x + y + z)2 (yz + zx+xy) xyz + + 3(yz + zx + xy)2xyz-7(x+y+z)(xyz)2. 5. P1P2-Pz- 6. p\p\ — 2p\Pz — 2P\+
+ 4PiP2Ps — РІ 7- PiPzPz — PiPa — РІ 8- p\p\ — ^РіРз ~ 4Pl + ЩРтРг — 27Ph 9. р\р$ ~*r p\ — ^P2Pa- Ответ: p\ — 3pjP2 + Зр3. Задача может быть решена элементарно или указанным общим методом, или еще при помощи формул Ньютона. Рассмотрим целую рациональную функцию от х
f(x) = (x — xl)(x — x2)(x — x3)...(x — xn), (1)
или
f (X) = х» - P1X»-* + P3X"-*-рлх"-*+ '¦¦... +(-\)ПрП1 (2)
где рьр2'Рь---* Pn — основные симметрические функции. Найдем f(x + h), исходя из (1) и исходя из (2):
f(x + h) = (х \ h — X1) (х + h — х2) (х + h —• хг) ... (х + h — Xn) =
= (х — X1) (X — X2) (х — X3) ... (X-Xn) +
+ h[(x — х2) (х — х3) (х — х4) ... (х — Xn) +
+ (X-X1)(X-X3)(X-X4) ...(X-Xn) +
+ (X-Xx)(x-X2) (X-X4) ... (X-Xn)+ ... +
+ (X — Xx) (X — X2) (X-X3)...(X —Xn^x)]+ ...]
с другой стороны f(x +h) = (x + h)n—px (x+h)n~l+p2 (x+h)n~2 — ... + (— \)npn = = xn — pxxn~i 4 P2-**"2 — ... + (— 1)" Pn + h [nxn~l — px(n — l)xn~2 + + p2(n — 2)xn-3— ... + (—X)n~l pn-x] + ... Приравнивая полученные выражения и учитывая равенства (1) и (2), мы получим равенство двух многочленов относительно начинающихся с h в первой степени. Так как эти многочлены тождественно равны, то должны быть равны коэффициенты при h в первой степени, т. е.
(X — X2) (X — X3) (X-X4) ... (X — Xn) + + (X — X1) (X — Xo) (X — X4) ... (X-Xn) + + (X — X1) (X — X2) (X-X4) ... (X- Xn) +
+.................+
+ (X — Xx)(X-X2) (X-X3) ... (х — хп_х) =
= пхп-л_рЛп__1)хп-2^рЛп^2)х"-3+ ... +(-I)I-Ip11..,
или
f(X) + f(x) , , /(Jf)
X — Xx X — Xo X ~
^nxn-i-Pl(n-\)xn-2 + p2(n-2)xn-3+ ... +(-Iy-1JW (3)
Если выполнить деление f(x) на х — хх, исходя из выражения (2) для f(x), то мы получим = хп "1 + (X1 — P1) хп ~2 + {х\ — X1P1 + P2) хп~3+ ... -t-
+ X1"1 — -Kj2-2P1 + X1 ~3р2— ... + (—I)"-1 Рл_г и аналогично
+ х^-1-X^p1 +х^-ар2- ... +(_1)п-1р,_ъ
/W ^s-* + (ха-PJx»-* +(4-XnP1+P2)X«-*+ . .. + + Xn-*-х»-^ +Xn-^p2- ... + <- 1>"-Ч-Г
^n
27 П. С. Моденов
418 Ответы. Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Складывая и учитывая (3), получим
