Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
13. Воспользоваться тождеством хъ + у3 + z3 — 3xyz = (х + у + z) (х2 + у2 + z2 — yz —
— zx — ху) и положить x = b + c,y = c + a, z = a + b. 14. См. указание к предыдущей задаче. 15. См. указание к задаче № 13. 17. См. указание к задаче № із. 18. См. указание к задаче № 13. 19. См. указание к задаче № 13. 20. Положить b + c — а = 2л:, с-\-а — b = 2у, а + Ь — с = 2,г; тогда а = y+z, b = z + x, с = л: + у и т. д. 22. Рассмотрим выражение (х + у + z)3— (— х + У + ^)3 — (х — у+ г)3 —
— (ХЛ~ У — 2Y- ПРИ X = 0, при у = 0 и при Z = O оно обращается в 0 и значит делится на xyz. Но это выражение 3-й степени относительно х, у, Z1 следовательно, в частном получится число С и, таким образом, данное выражение равно Cxyz. Но при X = у = z = 1 данное выражение обращается в 24, значит С = 24. 24. См. указание к задаче Я° 22. 25. 4 [(х — а)2 + Зал:]3 — 27а2л:2 (л: + а)2 = = 4 (л: — а)6 + 36 (х — а)4 ал: + 108 (х — а)2 а2л:2 + 108а3л:3 — 27а2л:2 (л: + а)2 = = 4 (л: — а)6 + 36 (л: — а)4 ал: + 108 (х — а)2 а2х2 — 27а2х2 (х — а)2 = (лг—а)2 (2л:2+ + 5ал: + 2а2)2 = (х — а)2 (2л: + а)2 (х + 2а)2. 28. Левая часть при а = 0, при 6=0, при с=0 и при а = — (6 + с) обращается в нуль и, следовательно, имеет вид Cabc (а + b + с). При а = 6 = с = 1 получаем 81 —48 + 3 — ЗС, С = 12. 33. Положить у + Z = и, у — z = v. 34. Положить а — с = X9 b — а = у; тогда b — с = X + у и далее см. № 31 и 32. 35. Данное выражение обращается в нуль при а = b = с = d = 0 и а + 6 + с + о" = 0 (отсюда, например, а + b =
— — (С + и (л + б)5 + (с + а*)5 = 0 и т. д.). Значит левая часть равна Cabcd (а+ + 6 + с + а*)- При a = b = c = d=\ имеем 4С = 45-~4 . 35 + 6 . 25 — 4 = 240, С = 60. 39. Левая часть есть целая рациональная функция от а третьей степени. При четырех значениях а (а = 0, а = 6, а = с, а = d) она обращается в нуль; следовательно, данное выражение тождественно равно нулю. 41. л:3+ у3 + + z* — 3xyz. 42. л:6 —1. 43. а3 + b3 + с3 + d3 — 3 (abc + abd + acd + bed). 44. 4а6с. 45. 62 (a + 3b)2. 46. (6с + са + а6)2. 47. abed (а + b + с + d)2.
§ 2. Условные тождества между многочленами
4. У к а з а н и е к в), г) и д): см. гл. I, § 1, № 30, 31, 32. 6. У к а з а н и е. 4л:3 — 27у2 = = 4 (b2 + be + с2)3 — 2762с2 (b + с)2 = 4 [(6 — с)2 + 3bc\3—21b2c2 [(6-е) + 2с]2.
13. Указание, а3 + v3 + w3 — Зашг/ == (а + v + w) • -g- [(г/ — ш)2 + (ш — а)2 +
+ (и —V)2]. 14. Указание. X2 + Y2 + Z2 — YZ — ZX— XY = і [(F-Z)2 + + (Z — X)2 + (X—Y)2]. 16. Решение: возьмем три данных соотношения:
а\ + Ь\+с\ = \, axa2 + bxb2 + C1C2 = O,
а^з + bxb3 + C1C3 = 0. (1) 1
Умножая первое из них на Ь2сг — 63с2, второе на схЬ3— с3Ьх и третье на bxc2— Ь2сх и складывая, получим ах(ахЬ2с3— axc2b3 +а2схЬ3— а2е3Ь х + аф хс2—
— аф2сх) = Ь2с3 — 63с2, или ах • А = 62с3 — 63с2 (2), где A = aj62c3 — axc2b3 + a2cxb3 —
— а2сфх + афхс2— a362Cj. Умножая первое из соотношений (1) на с2а3 — с3а2, второе— на а^э — а3сх и третье — на а2сх—ахеъ а затем, складывая, получим 61-Д = а3с2— а2с3 (3). Умножая первое из соотношений (1) на а2Ь3— аф2% второе— на Ьхаг — Ьгах и третье — на ахЬ2— а2Ъх и складывая, получим: C1-A = ^а263—- аф2. (4). Из соотношений (2), (3), (4) следует, ^что (a2 + b\ + cf) А2 =
= (V3 - V2)2 + (?? - ^3)2 + (M3 ~ я3б2)2 = (4 + bl± с1) (4 + ь1 + 4) -
— (а2а3 + 6263+ C2C3)2 = 1. Но а^ + б^ + с^ = !, значит А2 = 1. откуда А =1 или
416 Ответы. Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Д= — 1. Аналогично могут быть выведены соотношения: а2-к = Ь3с1— ^1C3, А2» A = A1C3— ^3C1, C2-A = A1^3— a3bx и A3 • Д = bxc2— b2cu O3-A=Ci2C1—A1C2, C3 • Д = аф2 — а2Ьх. . Теперь находим а\ + A2 + а\ = A1 • A1 + Ci2 • A2 -f- A3 • A3 =
—----j- A2-д--h A3-д-= -j- — 1, + 02 -+- ?3 = Ьх • Ьх +
I A A _I_ A A A ^C2 — ^C3' , h ^C3 ~ A3C1 • . A2Ci-AlC2 _ А _ 1 „ QUQ
+ • O2 + #3 • b3 = --д--h #2 -д--h -д---— = 1 и аналогично с\ + с\ + C3 = 1. Далее, A1^1 + A2^2 + A3A3 = Cl1 —°2 ~ + A2 ^1^"^"^1 +
_|_ аз д2Сі --¦ ^]C2 __ Q (после приведения подобных членов) и аналогично A1C1 -j-
+ A2C2 -f A3C3 = 0, Vl + ^C2 + ^зС3 = 0.
§ 3. Симметрические многочлены
1. Указания: имеется несколько методов представления симметрической функции в виде целой рациональной функции от основных симметрических функций. Эти методы основаны на формулах Ньютона и Варинга. Существуют также методы Жирара и Гаусса. *
Первый способ. Пусть
Pl = X1 +X2+ ... +Xn, P2 = X1X2+ X1X3+ ... + *1*л + *2*3 + ••• +^2Xn+ ... +Xn^1Xn,
Pn = Х\Х2ХЪ • • • ХП
основные симметрические функции от п аргументов Xu X2,..., хп, а ср (хи X2.....Xn) —
данная симметрическая функция. Рассмотрим то слагаемое Ax14X24 ... хпп в выражении для ср, в котором CX1 > а2 > ... >ал (в силу симметрии ср такое слагаемое всегда существует). Разность ср — Ap11 *р2 3 ...Pn^11 прпп будет также симметрической функцией, и в ней это слагаемое Ax1X24 ... хпп сократится. Продолжая вычитание, мы решим задачу. Можно также воспользоваться методом неопределенных коэффициентов (см. ниже). Решим теперь первый пример: ср = хъ ч- у3 -f
