Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
nxn~l— Pi (п — \)хп~2 + р2(п — 2)хп~5— ... + (—!У2"1 Pn-i = = nx"-* + (S1 -яр,)*""2 + (s2-slPl + np2)x"-*± ... +
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (например, при xn~k~l), получим (—1)* Pk(n — k) =г sk — Sb-iPi + sk_2P2— ••• +(—l)knpk, или
— + sk„2p2- ... +A(-1)*;A = 0, A = I1 2, 3, .... я —1 (4)
Соотношение (4) есть первая формула Ньютона. По ней находим (k =2): S2 — S1/?! + + 2р2 = 0, откуда s2 = pl — 2p2t т. е. х\ + х\ + х\ + ... +Xn = (^1 + дг2 + .*3 + ... ... + *я)2 —2(-*1*2 + -*1*з + ... + ^„ + X2X3 + ... + *2*я + ••• +*я-і*л)2. Далее, при k =3 находим s3 — S2P1 + V?2 — Зр3 = 0, s3 = P1 {р\ —-2р2) —P1P2 + Зр3==
= Pj — 3P1P2 + Зр3. 11. Pi — 4pjp2 + 2р2 + 4P1P3 — 4р4. См. указание к предыдущей задаче (воспользоваться формулой Ньютона). 12. См. указание к предыдущей задаче (воспользоваться формулой Ньютона). Ответ: р\ — 5pjp2 + Op1P2 + 5pjP3— 5р2р3 —
— 5р,р4 + 5р5.
§ 4. Делимость многочленов 1. _ (be + са + ab). 2. 1. 3. xn~k + xn~2kak + ... +an~k. 4. xn~k — xn~2kak + ...
5< x?-k — xn-2kak + ... + (—I)*"" an~K 6. (x + l)2" — jc2" — 2x — 1 = [(x + l)2]" —
— (x2)n — (2x + X) = [(X + l)2 — a'2] [(jc + 1)2"~2 + (X + I)2""4 X2 + . . . + + (jc + l)2 Jt2"-4 + jc2""2] — (2x + 1) = (2jc + 1) [(X + I)2""2 + (X + 1)2"~4 jc2 + ... ... + (л:+ l)2 jc2"~4 + jc2"-2 — 1]; после деления на 2л:+ 1 получим (х + 1)2"~2 + + (X + I)2"-4 д:2 + ... + (л- + I)2 jc2"~4 + jc2"-2 — 1. Сумма (X + 1)2"~4 X2+ ... ... + (х+ I)2 je2"""4 делится на х(х + 1) и в частном получается (л: + I)2"-5* + ... т%. +(х+1)х*п-*щ Остается разделить (jc+ і)2"-2 + лг2"-2 — 1 на jc(x+1). Имеем:
(jc + I)2"-2 + jc2"-2 — 1 = (jc + I)2"-2 + (jc2 — 1) (/с2""4 + jc2"-6 + ... + jc2 + 1) = = (х + \)[(х + 1)*п-* + (х—\)(к*п-* + х*п-*+ ... + Jt2+1)] = = (X+ l)[x*«-* + C2V3^"4+ ... +C\n_,x+l +
+ (jc-I)(jc2""4-t jc2"-6+ ... + jc2) + jc — 1] =
= х(х+ I)[^"4 +С\п_ъх^+ ... +Cj11-3 +
+ (jc—I)(jc2""5+ jc2""7+ ... +jc) + 1].
Ответ: <*+1)2"-5*+ ... +(x+\)x2"-5 + x*"-4 + Cln_zx2n-5+ ... + С\п_, + + (jc—1)(;с2/|-5 + хал-7 + ... + д:) + 1. 7. /1*1-1+ (я — I)jc""2 + (я — 2) лг"~3 + ... ... +2jc+ 1. 8. n2xn~l + (n — I)2 jc"-2+ (.? — 2)2 jc"-3 + ... +9*2 + 4х + 1.
9ж у2/уп-1 + уп-22 + уп-322 + тла + у2п-2 + гп-1) + гх(гп-\ + zn~2X + Zn~*X2 + ...
. . . + zxn~2 + jc"-1) + jcy (х"-1 + jc"~2y + jc"~3y2 + . . . + xyn~2 + yn~l). 10. —2ааЛт— сумма распространена на все неотрицательные целые значения а, ?, у. в сумме дающие я —2. 11. a) jc + у + z\ б) (у + г) (z + х) (х + у). 12. 1 — 2jc + Зх2 — 4jc3 + ... + (2я + 1) jc2" — 2ях2"+1 + ... +jc4", (__1)^(2я — т +l)jc2"~m, (—¦ іу"(2я-—яг +1) jc2"+m. 19. Указание. Положить x = \+z и расположить выражение (1 + z)2n —• я (1 + z)n+l + я (1 + z)n"x — 1 по возрастающим степенями. 21. Указание. Положить x=l+z, расположить / (1 + z) по возрастающим степеням z и приравнять нулю свободный член и коэффициенты при z, z2, zk. 22. Пусть jc = а — кратный корень данного
многочлена. Полагая х = a + z, будем иметь / (jc) = / (a + z) = 1 + +
+*ц?+а?к+ ... +fc±?_1+.+ -; + * +... +?+(.+.+
а2* а""1 \ + 9Г + ... +7-Ш/ ^ак как а — кРатныи корень, ТО
Ответы. § 5. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
419
откуда -^y ==0, т. е. а = 0; но тогда из предыдущих соотношений следует 1=0.
24. Если п не кратно 3. 25. Если п при делении на 6 дает в остатке 1 или 5. 26. Если п при делении на 6 дает в остатке 2 или 4. 27. Если п при делении на 6 дает в остатке 1. 28. Если п при делении на 6 дает в остатке 4.
§ 5. Разложение на множители ,^, + 2,(^,)(,+ 1^)(,+ 11^. 2. (,+2)(,-,)(, + 1 + ^)(,+ + . 3. (, + 2)(, + 4)(,+^=^)(,+14^1).
4. (х + 2)2(х + 3 + Vb)(x+ 3 —У1). 51_9(x + \)2(x + 2 + V3) (х + 2 —1^3) . 6. x(x + 5)(x+5 + fl5)(x + ^^). 7. (*+2)(* + 6)(* + 4 + yi)U +
+ 4 —1/" 6). 8. Указание: 4 (л2 f 60 + 17л:) (л:2 + 60 + 16л:) — Зл:2 = 4 (л*2 + 6O)2 + 132л- (л-2 + 60) + 1085л:2. Ответ: _ _
2(, + 8)(2х+15)(, + М±^)(,+І^в5). 9. (.-1)(, + 3)(, + 7).
10. (л: + 2)(л: — 3)(лт — 5). 11. (2л: —З)3. 12. (х — 1) (л: + 1) (х — 3) (л: + 5).
13. (л: — I)3 (2х + 5). 14. (лт — 5)4. 15. (л:+1) (л: +3) (л:+ 5). 16. (х — З)2 (л: f-5).
17. (За: + 2)2 (л: — 3). 18. (л: — 1) (х + 2) (лт + 3) (2л: — 1). 19. (л: + 2)2 (х — З)2.
20. Ответ: при условии
Д = ACF f 2BDE — CD2 — AB — ЯЗ* = 0. (1)
Решение: доказательство необходимости: пусть
Ax2 + 2Вху + Cy2 + 2Dx + 2?у + У=1 = (рх + <?у + г) (дат + 6у + с);
тогда *
1 1 1
Л= а/?, Л = (я<7 + bp), C=qb, D =(аг + ср), ? = у (я? + r?), F — гс.
Подставляя в (1) эти значения для А, В, С, D, E и F и раскрывая скобки, получим, что левая часть соотношения (1) обращается в нуль.
Доказательство достаточности: пусть соотношение (1) выполнено. Так как в условии задачи сказано, что данное выражение второй степени относительно х и у, то, по крайней мере, одно из чисел А, В или С не равно 0. Пусть, например, А Ф 0. Тогда данное выражение можно преобразовать так:
Ax2 + 2(By + D)x+ Cy2 + 2Ey+ F =
