Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Своеобразие математических текстов состоит обычно в отсутствии таких операциональных процедур, к которым содержание текста сводится хотя бы в конечном счете. Тем не менее в определенных ситуациях в осмыслении математического текста такой «реалистический» аспект играет основную роль.
Далее, осмысливая математический текст, математик пользуется более или менее определенными зрительными, кинематическими и другими образами, возникающими в его сознании. Соответствующий аспект смысла мы назовем «внутренним».
Наконец, осмысляя текст в его отношении к другим реальным или потенциальным текстам, т. е. строя его переводы на другие подъязыки, эксплицируя определения, формализуя и т. д., математик обращается к «внешнему» аспекту смысла.
Рассмотрим в качестве простейшего примера осмысление понятия «два» в контекстах «возьми два яблока», «философский дуализм» и «шестой знак знак после запятой в десятичном разложении я есть два». В первом из них наиболее существен реалистиче-кий аспект смысла, во втором — внутренний, ибо представление о «двух» должно применяться к столь сложной понятийной системе, как «первоначальные сущности, предположительно лежащие в основе мира, в рамках философских систем определенного класса». Наконец, в третьем контексте доминирует внешний смысл, ибо понимание этого текста апеллирует к реконструкции некоторого метода приближенного вычисления я, метода получения десятичных знаков соответствующего приближения, метода оценки точности приближения и т. п.
Займемся описанием этих аспектов смысла и их влиянием на выбор и оценку той или иной системы оснований математики подробнее.
а) Реалистический аспект семантики. Не подлежит сомнению, что он играет основную роль в широко понимаемой «прикладной»
151
математике. Сюда входят, конечно, инженерные и экономические расчеты. То же относится к аппарату теоретической физики, однако здесь резко возрастает роль и сложность процедур экспликации физического смысла выкладок. По этой причине формально-математическая строгость вычислений может отходить для физика на второй план, если правила интерпретации служат более сильным формообразующим фактором теории. Таково положение дел с процедурами перенормировки в квантовой электродинамике, которые для математики выглядят вводимыми ad hoc правилами вывода в формальном тексте, но получают осмысление и конечное оправдание в совпадении вычисленных радиационных поправок с экспериментально измеренными. Физика же доставляет важнейшие образцы множественности реалистических интерпретаций одной и той же математической теории: волновое уравнение может описывать колебание струны и рассеяние электронов; интеграл может отвечать объекту, заряду, пути или вероятности; примеры можно продолжать до бесконечности. Акцент на этой идее приводит к столь разным концепциям, как «конвенционализм» А. Пуанкаре, «теоретико-множественный релятивизм» Сколема или теоретикомножественная интерпретация интуиционистской логики.
Для «чистого» математика реалистический аспект смысла может доминировать, когда текст осмысливается как описание алгоритмической процедуры, производимой над текстами же. Таковы школьные алгоритмы действий с десятичными дробями или метаматематические правила подстановки терма в формулу. Наконец, смысл программы для компьютера есть та последовательность состояний, которую воспроизведет компьютер, действуя в соответствии с этой программой. Несколько утрируя, можно сказать, что работа компьютера и есть одна из процедур осмысления программы. Математика Египта и Вавилонии была почти целиком «реалистической», и такова же семантика традиционных школьных учебников для младших классов.
Следует подчеркнуть, что слово «реалистический» в наших объяснениях нужно понимать широко. Даже когда его истолкование ведется в терминах эмпирических процедур, мы всегда в действительности подразумеваем некоторые абстракции, зачастую очень рафинированные. Эти абстракции могут быть не только естественно-научными, но и философскими: предположение о существовании некоторого «неоплатонистского» мира множеств позволяет отнести к «реалистической» философию классической теоретико-множественной математики. Отвержение этого мира как нереального с заменой его более реальным миром текстов и алгоритмических процедур над ними характеризует «другой реализм» конструктивной математики. Ориентация на реальность физического мира и интерпретация математики в терминах естественных наук предопределяет «прикладную» философию математики, едва
152
ли сформулированную систематически, но повседневно творимую физиками.
б) Внутренний аспект семантики. Как сказано, он проявляется в каждом индивидуальном акте осмысления как с трудом эксплицируемый и зависящий от индивидуального сознания «интуитивный смысл» текста.
Каждый человек имеет непосредственный доступ лишь к своему сознанию. Самонаблюдение и языковые средства позволяют создать некоторый внешний образ своих актов мышления, однако-весьма несовершенный и неполный. При этом фундаментальная подсознательная компонента либо вовсе выпадает из описания,, либо грубо деформируется в результате попыток ее экстериори-зации.
