Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
146
8.12. Проверка 8.10. Мы должны установить, что ||д функция из на
3*в (е>0) || = 0, т. е. что
II35 (5 — функция Д yz (z С Я -*• ЗУ (У Д (у, z) е g>0 = 0.
Допустим, что для некоторого GeVB имеем 0фа= ||G — функция I А Л (...).
Z
Для каждого а<со2 рассмотрим член, отвечающий Z=Z(ct) (определение
в п. 8.1 и 8.5), и учтем, что ||Z (a) s<o0II = Р
0 ф а < || G — функция || Д V |! У еЯ || Дг|| (У, Z (aj/s G ||. (5)
В силу (1)
II у е®, IIА11^. Z(a)f<=G 11= V IIУ = ?l| ЛII <У.2 (“)>Ве б И = V ||К=-
B<“1 9<<0j
=TllAll(T.Z(a))SeG||.
Суммируя сначала по Y, перепишем (5) в виде 0 ф а < || G — функция Ц Д V II (?> 2 (а))й S G |].
9<и>1
Значит, для каждого а<со2 найдется такой ?(a)«0i, что 0 Ф aa = II G — функция |[ Д || (Р («Г, Z (а))в е G||.
Поэтому существует такое значение ?a*<?>i и такое подмножество J^a>2 мощности <02, ЧТО
В
0 фаа = || G — функция || Д || ((?, Z (а) ) ?= G || для всех а€=/.
Мы придем к противоречию с условием счетиости, как в предыдущем пункте, если покажем, что аа Д = 0 при а ф$, но это следует из того, что ал /\а$^ <||Z(.) = Z(P)1| = 0
в силу леммы 8.5.
9. КАКОВА МОЩНОСТЬ КОНТИНУУМА?
9.1. После всего, что мы узнали о языке и аксиоматике Церме-ло — Френкеля, возвращение к этому вопросу может показаться наивным, но оно неизбежно, если считать основной ценностью смысл.
Среди специалистов по основаниям существует и распространена точка зрения, согласно которой ответ состоит в том, что вопрос бессмыслен. К такой точке зрения как будто стал склоняться и сам Поль Коэн [19], признавая, что тем самым «принимает на себя тяжелую ношу».
Разумеется, с этих позиций должна быть отвергнута почти вся семантика языка Li Set, в том числе заведомо этажи Ул универсума фон Неймана начиная с а=юо+1- Никакое половинчатое решение не может спасти дела, тем более, что вопросы о высших
147
аксиомах бесконечности или так называемых «измеримых кардиналах» находятся в еще худшем положении, чем КГ.
В таком случае следует предпринять серьезные поиски альтернативных языков и семантики. Разногласия здесь велики и непримиримы. Наиболее четкую позицию занимают конструктивисты, несмотря на существование и в их среде различных оттенков мнений. Они отвергают актуальную бесконечность и неэффективные доказательства существования. (Последнее, впрочем, на практике часто сводится к более дифференцированному словоупотреблению — «не может не существовать», «квазисуществует», которое почти синонимично лингвистическим предосторожностям, принятым в классических текстах.) Недостаток этой позиции, на наш взгляд, состоит в том, что конструктивизм отнюдь не является «другой математикой». Это — крайне рафинированная подсистема классической математики, отвергающая ее крайности и бережно лелеющая эффективный вычислительный аппарат.
К сожалению, похоже, что именно «крайности» — смелые экстраполяции, инфинитные и не поддающиеся конструктивной интерпретации абстракции — придают аппарату эффективность. Трудно представить себе, какую помощь могла бы получить от математики квантовая физика XX века, если бы в течение последней сотни лет ее аппарат развивался только на основе абстракции «конструктивного объекта». Какие-нибудь стандартные вычисления с бесконечномерными представлениями групп Ли, играющие сегодня важную роль в понимании микромира, скорее всего просто не были бы придуманы.
Не исключено, что новую (или хорошо забытую старую) концепцию континуума, при которой он не будет иметь никакой «мощности», следует искать в глубоком изучении внешнего мира. Представление о множестве, состоящем из элементов, действительно рискует оказаться адекватным лишь для конечных или счетных множеств, тогда как «высшие бесконечности» могут оказаться абстракциями от объектов совершенно другого типа.
Физика как будто бы указывает на принципиальное отличие процедуры «счета» от идеализации измерения по Эздоксу—Де-декинду. Счету поддаются материальные области притяжения, «аттракторы» (Р. Том), которые суть единицы, не имеющие резких границ. Доли единицы, если далее они реализуются физически, суть аттракторы уже другой природы, в микромире и эти представления, видимо, теряют смысл.
Если статистичность является фундаментальным свойством природы, плодотворным может оказаться рассмотрение математических моделей, в которых она появляется в качестве неопределимого понятия. Неожиданное богатство нестандартных интерпретаций классической математики в булевозначных моделях согласу-
148
етея с предположением, что все слова, которые мы говорим, нужно понимать иначе.
9.2. Перейдем теперь к менее радикальной точке зрения на проблему континуума, при которой она считается осмысленной. Тогда главный вопрос по-прежнему состоит в том, как узнать положение континуума на шкале алефов.
П. Коэн заканчивает свою книгу [7] следующим мнением: «Точка зрения, которая, как предчувствует автор, может в конце концов стать принятой, состоит в том, что КГ является, очевидно, ложной ... С больше чем хш, яа, где а = хщ и т. д. С этой
точки зрения С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения».
