Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Манин Ю.И. -> "Доказуемое и недоказуемое " -> 62

Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.

Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое — Советское радио , 1979. — 89 c.
Скачать (прямая ссылка): dokazuemoinedokazu1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 70 >> Следующая

Таким образом, здесь дана гипотетическая оценка С снизу и больше ничего — нет даже предположений о том, регулярен кардинал С или сингулярен.
Но проблема состоит, конечно, не только в том, чтобы угадать правдоподобную гипотезу. Ее следует поддержать настолько убедительными косвенными свидетельствами, чтобы она стала принятой, не будучи доказанной. Каков может быть характер этих свидетельств?
Гедель [20], обсуждая любые новые аксиомы теории множеств, пишет следующее: мы можем, конечно, надеяться достичь и более глубокого понимания концепций, лежащих в основе логики и математики, что позволит распознать интересующую нас аксиому как следствие этих концепций.
Но и оставляя в стороне внутреннюю необходимость какой-то новой аксиомы и даже признав отсутствие этой необходимости, мы можем принять решение об истинности этой аксиомы другим способом— индуктивно, изучая ее «успешность», т. е. плодотворность при выведении «проверяемых» следствий. Мы имеем в виду следствия, доказуемые и без этой аксиомы, но доказательства которых при ее использовании значительно упрощаются, их становится легче открыть, удается скомбинировать в одном рассуждении многие разные доказательства. Отвергаемые интуиционистами аксиомы вещественных чисел были до какой-то степени проверены в этом смысле, потому что аналитическая теория чисел часто позволяет устанавливать теоретико-числовые теоремы, впоследствии поддающиеся доказательству элементарными средствами. Но мыслима и гораздо более высокая степень уверенности. Могут быть открыты аксиомы, столь богатые проверяемыми следствиями, проливающие такой яркий свет на целые дисциплины и доставляющие настолько сильные методы решения задач (даже, возможно, решающие их в каком-то конструктивном смысле), что совершенно
149
безотносительно к их внутренней необходимости эти аксиомы придется принять хотя бы в том же смысле, в каком принимают любую основательную физическую теорию».
Мало что можно добавить к этой энергично выраженной надежде. Имеется, однако, теорема, доказанная самим же Геделем, согласно которой в достаточно богатой формальной системе любая новая независимая аксиома как угодно сильно сокращает доказательства подходящих утверждений, доказуемых без нее. Это несколько ослабляет веру в прагматические критерии истинности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. О СМЫСЛЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ТЕКСТА
Изложенные выше результаты, демонстрирующие огромную сложность понятий «доказуемости» и «истинности» математических утверждений, делают естественной попытку обсудить, каков вообще смысл математических абстракций. Возможные точки зрения на этот счет были исходным пунктом для различных школ в области оснований математики, сформировавшихся в XX веке. Ниже мы кратко опишем концепции этих школ и стоящие перед нами проблемы.
Начнем, однако, с замечания о том, что понятие смысла математического текста само по себе является абстракцией высокого уровня. Более непосредственному изучению поддаются процессы осмысления текста, которые мы и принимаем в качестве первоначального материала. В этих процессах выделяется несколько» аспектов, попеременно выступавших на первый план в разных индивидуальных актах осмысления. Мы намерены описать их в проследить, как абсолютизация какого-либо из этих аспектов определяет каждую из оформившихся философских позиций в проблемах оснований.
Осмыслению бытовых текстов на родном языке человек учится с детства, параллельно с овладением самим этим языком, находясь в однородной языковой среде. Так, в индивидуальном сознании образуется потенциальное ядро сразу и однозначно понимаемых текстов. Эта нерасчлененность процесса понимания бытового» текста позволяет приписать ему наличие определенного смысла. Разумеется, когда этот процесс понимания становится предметом изучения психологов, лингвистов, психиатров, он обнаруживает колоссальную сложность и иерархическую организацию. Здесь мьг вправе рассматривать его как единое целое, а смысл, продуцируемый этим осмыслением, как правомерную абстракцию.
Иначе обстоит дело с языками науки. При создании очередного-естественно-научного понятия, системы понятий или теории, а также при обучении им соответствующие тексты предъявляются вместе с инструкциями по их осмыслению. Эти инструкции могут
150
-составлять явно выделенную часть текста, но могут и быть замаскированными в языковых конструкциях, параллельных языковым конструкциям в уже осмысленных текстах. Так появляется якобы понятное выражение «электрон пролетел через щель А (а не через щель В)» в учебниках по квантовой механике, «инструкцией» по осмыслению которого является его синтаксис, параллельный синтаксису однозначно понимаемой фразы «камень пролетел через щель Л, а не через щель В». Эта «инструкция» вводит в заблуждение, и долгие последующие объяснения посвящены введению правильно построенной для языка квантовой механики фразы «амплитуда прохождения электрона через щель Л» и инструкциям по ее осмыслению. На дальнем конце такой иерархии инструкций находятся обычно описания операционных процедур экспериментальных наук — измерений, наблюдений и т. п. Осмысление текста включает более или менее полное осознание этой иерархии.
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed