Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Та «реальность», с которой классическая математика сопоставляет свои конструкции, для большинства является чем-то вроде платоновской «реальности» мира идей. С точки зрения философского материализма это — сублимированная и экстериоризирован-ная реальность индивидуальных сознаний, отражающих внешний мир; с точки зрения платонизма — реальность, независимая от сознания и находящаяся с ним в предустановленной гармонии. Мы можем также рассматривать этот мир как общую часть проекций вовне внутренних смыслов математики в индивидуальных сознаниях. Представление о единстве такого мира могло существовать лишь до тех пор, пока протестующие голоса выдающихся математиков не доказали обратного.
Едва ли, однако, можно считать окончательными любые аргументы, высказывавшиеся по поводу семантики понятия «множества» в математике. Их внимательный анализ показывает крайнюю бедность привлекаемого научного материала.
Например, критикуя кан горову актуальную бесконечность различимых сущностей с «реалистических» позиций, можно было бы заметить, что она абсолютизирует не столько опыт обращения с конечным, сколько повседневную физику здравого смысла, в которой мир состоит из отдельных вещей, поддающихся счету, упорядочению, собиранию и т. п. Квантовая физика подсказывает тогда абстракции мира совершенно другого типа, в котором «множество» электронов, скажем, состоит из сущностей разных, но неразличимых, в котором логика не отражает логики обыденной речи, ориентированной на макромир, но и не совпадает с логикой интуи-
ционизма — вообще любой из версий, предлагавшихся философами математики. Бесконечность микромира «внутрь» и «вширь» с ее вероятностными и полевыми аспектами совершенно не похожа на канторову и определенно не сводима к последовательности «элементарных актов различения», все равно, считать ли ее актуальной' или потенциальной. Сам предикат «быть элементом» имеет в микромире сомнительный статус.
С другой стороны, и психологические рассуждения Брауэра, Гейтинга и других апеллируют в основном к элементарному самонаблюдению и совершенно не принимают в расчет достижений научной психологии и нейрофизиологии. Можно сказать, что пристальное внимание к конструктивным аспектам математики позволило вычленить понятие универсальной машины Тьюринга как «наименьшего общего фактора» всех индивидуальных сознаний. Его физиологической основой является дискретизованная двигательная активность с использованием простейших рецепторов, например осязательных.
Потециально счетная бесконечность интуиционистов и конструктивистов есть бесконечность, доступная этому фактору. Однако геометрическая интуиция, на которой основана бесконечность континуума, при таком подходе полностью игнорируется. Ее физиологической основой является двигательная активность самого широкого плана, опирающаяся на сложнейшие процессы переработки информации зрительными рецепторами соответствующими корковыми полями. Нейрофизиологическое описание этих процессов только начинается, но совершенно ясно, что сверхупрощенные концепции математической интуиции, предлагаемые в полемическом задоре, далеки от реальности.
в) Внешний аспект семантики. Он дополнителен к внутреннему аспекту в том же смысле, в каком описание правил употребления слова «множество» дополнительно к его определению по Кантору. Осмысляя математический текст «внешним» образом, математик может конструировать его переводы на другие подъязыки (от формул к графикам и наоборот), строить различные сокращения текста или, напротив, реконструировать опущенные подробности доказательств, экспериментировать с изменением посылок и т. п. «Внешний смысл» математического текста —это его рабочий смысл для математика-профессионала, когда он пишет статью* учит математике студентов или общается с коллегами. Процедура внешнего осмысления не обязана быть и редко бывает полным* точным, прямолинейным сведением к основным понятиям (такова лишь ее модель в формальной теории). Она содержит круги, тупики, и скачки. Осмысление евклидовой прямой как модели вещественных чисел, а вещественных чисел как множества точек прямой не определяет ни одного из этих понятий, но проясняет смысл обоих.
158
»Реалистически“ осмысливая дельта-функцию Дирака (3 (х) = О
00
шри хфО, 3(0) = оо, | В(х)с1х— 1), физик] представит себе ее,
—00
скажем, как точечную единичную массу бесконечной плотности. Для математика несколько более абстрагированный вариант этого представления будет скорее относиться к категории «внутренней» семантики. Лишь получив возможность осознавать дельта-функцию «внешним» образом как функционал на пространстве финитных функций и включив ее таким образом в качестве хорошо определенного терма в формализмы анализа и в качестве частного теоретико-множественного объекта — в общематематические теории, математик почувствует себя совершенно спокойно. Однако физик вполне может удовлетвориться внешним формализмом для данного случая, вовсе не постулируя его сводимости к теории множеств.
Философская компонента формалистических концепций математики связана именно с абсолютизацией ее внешнего аспекта, когда содержание полностью отождествляется с формой. Кристаллизацией формальной математики в работах Гильберта и его школы мы снова обязаны трудностям теории множеств.
