Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Новаторство Кантора выразилось прежде всего в создании содержательной теории «порядков бесконечности». С языковой точки зрения это означало неявное введение некоторых аксиом существования множеств (в том числе аксиомы множества частей и аксиомы выбора), использование языковых конструкций нового типа (как определение полной упорядоченности) и, наконец, свободное применение логики конечного в новом инфинитарном мире (в частности, закона исключенного третьего).
Такая оценка работы Кантора, разумеется, стала возможной лишь в ретроспективе, для него и долгое время после него на первом месте стояла семантика актуальной бесконечности платоновского типа, хотя, возможно, и не выявленная до конца. Во всяком случае утверждения и вопросы о существовании тех или иных множеств воспринимались как имеющие общепонятный смысл. Сами множества, существование которых утверждалось, могли задаваться указанием свойства их общего элемента либо конструкцией из некоторых уже данных множеств.
Перенос акцента со «смысла» на «текст» был вызван именно критикой такой семантики как из-за обнаружения парадоксов, так и из-за интуитивной неприемлемости для многих теоремы Цермело ?о возможности вполне упорядочить любое множество. Точка зрения Гильберта состояла в том, что не все математические понятия и рассуждения вообще должны быть непосредственно интерпретируемы в финитных терминах. Те из них, которые такой интерпретации не допускают, суть «идеальные» языковые конструкции, которые присоединяются к системе для упрощения доказательств
159
теорем, стандартизации языка и т. п. Допущение их в систему, однако, требует соблюдения определенных правил гигиены, главное из которых — непротиворечивость системы. Непротиворечивость должна быть обеспечена заранее посредством тщательного исследования синтаксиса языка, который уже должен проводиться без ' апелляции к актуальной бесконечности.
Возникшая в результате проведения этой программы совокупность формальных моделей математики и логики были важнейшим ее результатом. В частности, оформление точных математических понятий «вычислимости» и «алгорифма» и всей теории рекурсивных функций тесно связано с программой Гильберта. Невозможность ее выполнения в описанном объеме, открытая Геделем, составляет другой аспект проблемы. Трудно решить, свидетельствует ли эта невозможность в пользу принятия интуитивной теории множества, какой мы ее знаем сейчас, или ее отвержения; с теми же основаниями этот вопрос может ставиться уже для арифметики.
Во всяком случае, взгляд на математику как на формальную систему очень плодотворен, если осознавать его ограниченность. Он дает возможность достигнуть значительного взаимопонимания при обсуждении таких разных концепций, как интуиционистская логика и теоретическая физика, доставляя «пустые схемы» сложных структур. Непротиворечивость формальной системы, плодотворность которой проверена экспериментально, перестает быть первостепенной задачей. Выбор конкретно порождаемых текстов, в такой системе составляющих весьма незначительную долю всех, допустимых текстов, все равно производится но неформализуемым-правилам, которые важнее формальной непротиворечивости, описываемой в терминах всех поддающихся порождению текстов.. Роль отбираемых текстов состоит в важнейшем, хотя и плохо изученном посредничестве между мозгом и другим мозгом, мозгом и внешним миром, а также мозгом и самим собой (текст есть внешняя память, текст наводит мост между геометрической и арифметической интуицией каждого индивидуального сознания, которые, возможно, опираются на существенно разные физиологические механизмы). В конечном счете, главный аспект текста есть его способность участвовать в таких актах посредничества, и только изучение этой способности может разрешить загадку математики. Старая метафора В. Гюго, сопоставляющего книгу и собор, имеет глубокий смысл, если структурированность текста составляет важнейшую предпосылку его социальной роли.
Все эти проблемы способствуют гуманитаризации математики; вместе со встречным движением математизации гуманитарного знания они помогают вернуть утраченное единство двух культур. В предвидении синтеза мы можем ожидать нового понимания «множества» как одной из самых удивительных мифологем нашего времени.
160
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Книги и статьи по математической логике и теории множеств
1. Шенфилд Дж. Математическая логика: Пер. с англ.—М.: Наука, 1975.
2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. — М.: Наука, 1976.
3. Клини С. К. Введение в метаматематику: Пер. с англ. — М: ИЛ, 1957.
4. Линдон Р. Заметки по логике: Пер. с англ. — М: Мир, 1968.
5. Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с франц.—М.: Мир, 1965.
6. Rosser J. В. Logic for Mathematicians. — New York: Putnam, 1953.
7. Коэи П. Дж. Теория множеств и континуум-гнпотеза: Пер. с англ. — М.: Мир, 1969.
Книги и статьи по теории рекурсивных функций и алгоритмов
8. Марков А. А. Теория алгоритмов. — Труды мат. нн-та В. А. Стеклова АН СССР, 1954, т. 42.
9. Успенский В. А. Лекции о вычислимых функциях. — М.: Физматгиз, 1960.
