Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
7.4. Лемма.
Пусть Й7 — некоторый, случайный класс. Тогда существует такой элемент Хе7в, что
V №(?/) = №(*).
и^ув
Левую часть можно представить в виде || д х (хДг №) || = II Ф ф 0 II • Поэтому интуитивный смысл леммы таков: вероятность того, что класс непуст, совпадает с вероятностью вхождения в него подходящего элемента.
Доказательство. Прежде всего, существует такой ординал (?, что
V V (Н) = V № {У). Действительно, пусть а = V № (У) Д для любого и<=уВ . ?/еУв и^УВ
138
аЕ:В положим у (а) = тш {‘([аТ> а} (или 0, если < а для всех •(). Положим, наконец, (3 = эир -{(а). Это ординал, так как В—множество. Если у>?> то а
ар^В
в силу монотонности, но а^> а@ не может быть по выбору у.
Итак, пусть У ЧР Ш) — '\/ 1Г Ш). Перенумеруем все элементы из V? не-и
которым начальным отрезком ординалов (аксиома выбора!): Г“ = {Уа}а^г Положим
в. = ^(?'.)Л(У1Г(г/1))', «е/.
Т<<*
Очевидно, да Д = 0 при а -Д у. Пользуясь леммой 7.26 склеим множества 11 л с вероятностями аа(ае=/). Получим [множество Л- с условиями || X = (Уа Ц ^5 аа 5= 1Г (Уа). Пользуясь экстенсиональностью )Г, находим
•1Р(Х)> V ||Х = 1/.|| л^а) = = V 1Г(У).
«?/ а==/ 7/^1/В
7.5. Предложение.
Иксиомд подстановки
у2~ V« (ух (Хби-*д! уЛх, у, г)) -? дда у*/ ш <—>? дх (х е и Д
Д Я (х, у, Г))))
„истина" (здесь 2 = (2,, ..., г„)Д
Доказательство. Мы фиксируем „вектор“ Ъ = (1Х................1п) с 2ге
и элемент |?/еУв. Вместо Р(х, у, 2) мы будем писать Р(х, у) и т.п. Представив аксиому с «константами» 2,-, V в виде Я—»-5, мы должны доказать, что Ий—>-51| ==1.
7.6. Частный случай:
если ||/?|| = 1, то ||5|| = 1. Покажем сначала, как общий случай выводится из этого.
Пусть а<=В. Обозначим через Ва множество {Ь<=В\Ь^.а}. Операции В индуцируют на В а структуру булевой алгебры с единицей 1а = а. Естественное отображение В—>-Ва : Ь\~*Ь /\а=Ьа является гомоморфизмом. Легкая индукция по а позволяет построить сюрьективное отображение универсумов Ув—<~Ува-X—>-Да, такое, что для всех X, У<=УВ
П*а€=К«|| = || ХеК || Да; || Х0 = Уа || = || X = У || Д а.
Теперь выберем в прежних обозначениях а= ||Я|| . Тогда || Я ||а = 10, так что в силу 7.6 || 51|0= 10. Это означает, что ||5||^а, так что ||/?-»5||=1.
(В этом рассуждении мы пользовались п. 7.6 для УВ°: ясно, что || Я||0= ||Я011 в очевидных сокращениях.)
7.7. Д о к а з а т е л ь с т в о 7.6. Условие Ц/?|| = 1 означает, что для любого Х<~УВ
11ХеУ|1<||а! уР{Х, у)ц. (3)
10* 139
Чтобы проверить условие ||S|| = 1, достаточно для любого UeVB отыскать такое что для веех УеУв
|| У S ИУ II = V ]|Zet/||A||P(X, У) Ц. (4)
X^vB
Формула (4) определяем Е7 как случайный класс в силу предложения 6.4. Найдем такое а, что W Wa.
С этой целью заметим сначала, что в (4) можно ограничиться суммированием по XeD(U):
||Уе^1|= v Il*et/|| Д 11^(^,1011 (5>
X^D (С/)
(доказательство такое же, как рассуждение после формулы (3) § 6).
Теперь применим лемму 7.4 к классу И7х(У) = ||P(Z, У)||. Она позволит для
каждого XeD{U) найт~ такой элемент Ухе Vе, что
\\2УР(Х, у)|| = || Р{Х, Кх)||. (6>
(Так как || 3! уР (X, у) || < || qyP (X, у) ]|, мы сможем воспользоваться этими Yx для оценки \\Х (=U \\ с помощью (9).)
Положим
а = sup (ах I vx g= vf ) по всем ХеО(У)
и покажем, что W Wa для этого а. Нам нужно проверить, что для всякого Y имеем || У? W (I < || Y ?: Wa || , а для этого в силу (5) и (2) § 4 достаточно установить, что для любого X E-D (U)
И X S ?/ || Д И Р(Х, Y) |'< || У = || Л ||Ухе№а1|- (7>
Имеем прежде всего в силу (3), (5), (6) и определения а:
||Хе?/||<||Я(Х,Ух)|1<||У^е^11=||^е^а11 . (8>
Далее рассмотрим формулу, которая «истинна», ибо выводима из логических аксиом и аксиомы равенства:
V * 3! Ур (*- У) Л Р (х, у,) А Р (х, у2) -»«/,== уг.
Из нее находим
V II а! уР (*.. У) II Л II Р (х. Y) II А II я (X, Yx) || < || У = Yx || . (9>
Xii=VB
Наконец, учитывая, что || Xe=U || < V II 3- уР Wu у) II в силу (3) и || X\^U || <
x^vB
<|| Я (X, Yx) || в силу] (8), перемножим почленно неравенства (8) и (9). Это даст
II X S и II Л II Р{Х. У) II < || У= У* II А II Yx е Vа||, т. е. (7).
140
7.8. Предложение.
Аксиома выбора «истинна».
Доказательство. Напомним, что аксиома выбора имеет вид ?•*3У (СЛ^Л^ЛА» гДе Я означает:
V2 (г е У — 3*3ш (2 = (“• »)))
{«у — бинарное соответствие»);
Я означает:
уи уа>1 уа)2 ((и, и),) е У Д (в. ю2) е У Ш1 = ш*)
(«у — функция»);
5 означает:
у и (дш ((в, ш) е г/) -» Ц е х)
(«область определения у содержится в х»);
Г означает:
уа(а^0Лаех-»зш(шЕиД(а, ю)еу)
(«область определения у совпадает с х; у выбирает по одному элементу из каждого непустого элемента х).
Фиксируем Х<=УВ и построим для X «выбирающую функцию» У. Для этого
а) перенумеруем 0(Х) начальным отрезком ординалов:
В{Х) = {и„и1.........У., ...}, *е/;
б) для каждого (X) отыщем по лемме 7.4. такой элемент №аЕ=У3,
что
II || =Л/ 1|^е?/в||;
ЧГ1=ув
в) для каждого ае/ положим
в-=11 ^ехцд(л ||^ех|ГУ||Д9 = ^а|Г);
8<а
г) наконец, обозначим через У множество, собирающее «упорядоченные пары» (?/а, 17а)й с вероятностями ал, а е/. Здесь, конечно, ((/, И?)в = {{^}В,
