Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
132
в) Пусть 157 — случайный класс, а а — любой ординал. Определим элемент ^«е^+1так:
D (WJ = Vf, Wa = ограничение W на
(как функции, см. 4.2). Нетрудно видеть, что для всех имеем
\\X?Wa\\<\\X?W\\. (1)
В самом деле, пусть U ?=VB, X?VB. Тогда имеем
откуда в силу (6) § 4:
|| X €Е || = V \\X = U ||Л1Уа(г/)<1У(Х)=||^еИ7||.
Ниже мы часто будем проверять, что интересующий нас конкретный класс 157 эквивалентен множеству, отыскивая такой ординал а, что W Wa. Из (1) видно, что для этого достаточно проверить неравенство || X E? W || X €Е Wa || для
всех X.
г) Пусть 1У, Wlt И7г—случайные классы. Тогда 157 j ЛИ7а, U7, V 157 2, 157'— также случайные классы,. ибо условие экстенсиональности для этих функций проверяется тривиально. Мы будем писать В7, f| В", (JB'j вместо W1 /\W2, Ц7, V ^2 соответственно.
д) Пусть W—случайный класс, а X — случайное множество. Покажем, что 157 р| X эквивалентно случайному множеству. Точнее, если D (X) = VB, то 157 р|
П X (157 П Х)а. В самом деле, ддя любого Y €= Vе имеем по (6) §4:
\\Y?(WD *)JI = V J?/ = r||AI|?/e(irn*)eli= V (11^ =
U&'a
= У||АП u^w\\a\\u^x\\= V ||1/ = У|1А1|1ге^|| А11^ех|| =
v?vB
= Il Y?WII л II ? ?XII = II У S W П XII-
Из этого результата следует «истинность» формул выделения (см. п. 4,96 гл. И). Следующее предложение дает общий способ конструкции случайных классов.
6.4. Предложение.
Пусть Р{х, г/ь ..., уп)—формула, не содержащая свободных переменных, кроме х, ух уп- Пусть Yu ..., У«еVB фиксированы. Тогда функция
X\-*W(X)=*\\P(X, Ylt .... Ya) Il
является случайным классом.
Интуитивно Ц7 содержит каждое множество X с той вероятностью, с которой для него истинно утверждение Р(Х); Уц ..., Yn играют роль «констант».
Доказательство. Воспользуемся «истинностью» соответствующей аксиомы равенства:
|| ухуу,. . . ХУп (X = У -* (Р (X, Ух, . . ., уп) -* Р (у, Уи ? • • . Уп))) 11= !•
133
Рассмотрев точку ? интерпретационного класса, которая придает х, уи ..., уп значения X, Уь ..соответственно, находим отсюда
||* = г||<||Я(*. Уи уя) II'VII я (у, у„ .... у„) ||
или
II Х = У\\ ЛУ(Х)^МГ(У),
откуда следует экстенсиональность V?.
Теперь мы можем приступить к проверке аксиом.
6.5. Предложение.
Аксиома пары
уггуогдхуг (г ?= х <—? 2 = гг \/ 2 = да)
«истинна».
Доказательство. Имеем по определению
|| уггушдхуг (гЕх <—> г = гг V 2 = ш) || = Д Д'У Л || X<—»1 —
и V х 1
= и\! 1 = 47 ||.
Поэтому достаточно для любых V, 4г<=Ув найти такой Х^УВ, что для всех 1<=УВ
\\1^х\\ = \\1 = и\\м\\г = 4'\\. (2)
При фиксированных II, 4Г рассмотрим правую часть (2) как функцию от 1. Она является случайным классом по предложению 6.4, ибо отвечает формуле 2 =
= П\/ г =47. Покажем, что он эквивалентен случайному множеству. Точнее,
если II, то X ^ Ха. По замечанию в конце п. б.Зв для этого достаточно проверить, что для всех 1
||2Е=*|1<||2е*в||.
Но так как [| и (=Ха [| = 1, то по формуле (2) §5 имеем
\\г = и\\<\\геха\\
и аналогично
1Г2 = Г|Г<||2еЕ*а||,
откуда следует требуемое.
6.6. Предложение.
Аксиома суммы
ухдуугг (дг (гге2 Дгбх) <—»иеУ)
«истинна».
Доказательство. Фиксируем Х/=УВ и построим такое случайное множество У, что для всех и^Ув
11Уег|| = ||д2(Уе2Л2е*)11= НМ111/егцл|ие*||.
134
По предложению 6.4 случайный класс с таким свойством существует. Покажем,
что если И (X) — У®, то У ^ Уа? Учитывая, что й (Уа) = й (X), имеем
'|0ег-||=2^т“и”2||Л1|2е1'-"=е'/ад"и“г"Л
Л( V lizez.ilлнг.е^И). (3)
д,еув
Покажем, что во внутренней сумме (3) можно ограничиться суммированием по 2^Б{Х). Действительно, для любого 2\
\\Zi.Ei х \\— \/ || и Д ц г2^дгц,
Да ?=?>(*)
H2e2.ll ЛЦ21е*|[= V И г ^ 2, Ц А || 2. = 2. Ц Д
Да ?йт
д||22е^||< V \а^гг\\у\\г^х\\. (4)
Да ?=?>(*)
Учитывая это, проведем в (3) суммирование сначала по 2 при фиксированном 2\е?)(2). Так как 0\{2^)^.0(Х), сумма по 2ей(Х) совпадает с суммой по 2еП(2П и будет равна \\UeZiW. Значит,
||Нега|1= V llizez.ilА|;21е^||= V JliZez.HA А е 8 (X) Д. V
А нг.е^Н^НОеУ,]
в силу (4).
6.7. Предложение.
Аксиома степени
ухзууг (г С X «—? г е у)
„истинна“. (Напомним, что гСх — сокращение для уц(кЕг-+иех).)
Доказательство. Фиксировав 1еУв, мы построим такой УеУв, что для всех 2еУв
Ц2еУ|| = Ц2с^1|- А Н^егц'УЛ^е^н.
С/^ V8
Правая часть определяет У как случайный класс в силу предложения 6.4. Покажем, что если И (X) = У%, то У ^ 7а+1.
Прежде всего, построим элемент 2^ е у?+1, рассмотрев 2 как случайный класс. Имеем в силу (1) || ^/ €= 2а ||' ^ || ^/ Е= 2 ||', так что
II г ЕУ |1<||2аеУЦ= II 2веУв+1||. (5)
Мы докажем еще неравенство
1|2е=7||<||2в=2||. (6)
Из (5) и (6) немедленно следует, что У Уа+р ибо в силу (2) §4
I! г е у II < II 2а е Уа+1 IIАII 2а = г п < || г е уа+! ||.
135
Остается проверить (6). Пусть сначала УеД (X) С Ув- Тогда ||У'с=2 || = = |! У €= 2 ||, откуда [| (/Е 2а •>—> {/?2 ]|' = 0 и тем более
|| У? X || Д || ?/?5 2а <—>•{/€= 2 ||'= 0. (7)
Левая часть (7) при переменном У определяет случайный класс вида X |"| У/
где № отвечает формуле ~1 (аЕ7,<—>аЕ7). Так как /) (X) = V®, в-силу
б.Зв имеем X (~) -х. (X Г~| Й7)а_
