Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Манин Ю.И. -> "Доказуемое и недоказуемое " -> 51

Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.

Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое — Советское радио , 1979. — 89 c.
Скачать (прямая ссылка): dokazuemoinedokazu1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 70 >> Следующая

3.3. Доказательство 3.1а. Если (|Р||=1 и ||Р—»Q]]’= 1, то ||Р||' = 0 и )|Р|Г V||QH=1, откуда ||Q||=L
Если ИР||=1, то ЦР|| (!)=1 для всех |еМ, но тогда (|' пробегает изменения ? по х):
Цу*рШ = Л11р11 (?') = А 1== 1-
Аналогично разбирается Gen по функциям.
118
3.4. Доказательство 3.16 )(набросок).
Тавтологии. Их «истинность» доказана в § 5 гл. II.
Аксиомы с кванторами. Доказательство получается индукцией по длине описания формул, входящих в схемы аксиом, и является вполне прямолинейным, так что мы его опускаем.
' 3.5. Доказательство 3.1в (набросок). Мы ограничимся
указанием списка аксиом и краткими комментариями.
Специальные аксиомы теории множеств: это аксиомы равенства и (схема) аксиом выбора:
АВ: ухаУР (х, у) — 2)ухР (х, [ (*)),
где Р — любая формула, не имеющая свободных переменных, кроме х и у, и у не ограничивает / в Р.
Специальные аксиомы теории полей: аксиомы аддитивной труп* пы, мультипликативной группы, дистрибутивности сложения относительно умножения.
Специальные аксиомы, порядка:
Х<у\/ у<х\ {х<у Д у<х)^х = у, х<у-+(х-{-г<у-{-г); (х<у Д 0<г) -*лг<уг.
Аксиома полноты (п. 2.5).
Наибольших усилий требует ироверка «истинности» аксиом выбора и полноты. Характер вычислений при этом, однако, аналогичен вычислениям в доказательстве «ложности» КГ, которые мы проведем подробно ниже. Поэтому эти проверки мы здесь опускаем.
Первая аксиома равенства травиальна. Вторая проверяется сначала для атомарных формул Р, затем проводится индукция по длине описания Р. Рассуждения довольно кропотливые, но простые.
Аксиомы упорядоченного поля проверяются без труда. Ограничимся одним примером: «ненулевое число имеет обратное»:
II ух (1 {х = 0) -ш/ (ху = Т))|| = А (II *=0 IIV У II/1II)-
х?=е у?=Р.
Чтобы проверить, что это значение равно 1, достаточно установить это для каждого члена с фиксированным значением ЗёеК, для чего, з свою очередь, достаточно построить по х такую случайную величину У<=Л, ЧТО 1!х=0|| V Н-Ч/=1|| —1- Для этого положим
у (да) = Р (®)'" ?’ 6СЛИ * ^ ^ 0’
[ 0, если х(яа) = 0.
119
3.6. Доказательство 3.1г. Напомним сначала, как выглядит КГ:
Vй(3?W3X(h{x)=0/\y = g(х)) V 3ЫУ (h(у) = 0—gx(2(х) Ду=
=f <*))))-
Обозначим через PltPt первую и вторую альтернативы в этой формуле: КГ имеет_вид уh (Pt V Ра)- Мы хотим доказать, что для любой точки имеем Л| yh{Pl V Л) 1| (Е) =0* Согласно определе-
нию в. п. 2.7
н;уй (Рг v Рд т=д (II р, II (ео v я рг Г) id,
где пробегает все изменения, | по h. Чтобы проверить, что это значение равно 0, достаточно установить существование такой точки ?', что НДЦ (?") = ||Р2И (?0 =0. Посколькув Pi и Р2 все переменные, кроме h, связаны, отыскание равносительно выбору h}' — =Aei?(1). Мы укажем h явно: это будет функция, «множество нулей которой имеет промежуточную мощность».
С этой целью, как в § 1, фиксируем подмножество /с=/ мощности, строго промежуточной между ©о и card/. Напомним, что Xi^R для каждого «е/ есть функция «г-я координата».
Далее, для каждой случайной величины xei? выберем такое подмножество Q(x)^Q, что
V ||x = .r/|| = fi(x)mod0 /<=/
(здесь используется полнота В). Наконец, определим h^Rd\ положив для каждой x^R и вуе?2:
h(x)(w)=l°’ если
\ 1 иначе.
3.7. Утверждение о корректности.
а) h(x) как функция от w (при фиксированном х) измерима, так что h отображает R_u R.
б) Для каждой x^R имеем
II Цх) = 01| = V II х= х, ||.
в) h^RW (см. п. 4.2), так что существует точка |'еЖ, для которой h^' — h:
Доказательство, а) Н(х) принимает на Q всего два значения: 0 и 1, и множества уровня этих значений измеримы по определению и свойству полноты В.
б) Очевидно из определения.
120
в) Мы должны проверить, что для всех х, у^.Я имеем
{да'бЕ Щх{1ю) = у (да)} тос!0 < {да О | Я (х) (ш) = Я (у) (да)} тос! 0.
Покажем, что множество точек дае?2, для которых одновременно х(ю) =у{т) и Я(х) {т)фк(у) {т), имеет меру 0.
Достаточно рассмотреть случай Я(3ё)(да)=0, Я(у)!(да)=1, т. е. установить, что
|[х=у||Л||ад = 0||ДЦЯ(у) = 111 = 0.
Запишем второй множитель в виде N/11-^—-^/11 (см. утверждение
3.76) и применим к нему и первому множителю правило дистрибутивности (используется полнота В). Учтем, кроме того, что ||х=у11 Д \\х=х$\\^\\у—Х}\\. Тогда получим
. Лл = у||Л||А(л) = 0||<У1|У = */И = 1|А(у) = 0||,
/&
откуда и следует требуемое.
Пояснение. Выбор Я — существенное место доказательства, и мы хотим его мотивировать. Напомним, что Я — это имя той функции, мощность множества нулей которой нас интересует. Выбор конкретной Я для «опровержения» КГ осуществляется так, чтобы среди «почти всюду нулей» Я были элементы множества которое имеет промежуточную мощность в наивном смысле слова (ср. §_ 1). Однако Я не может быть каким угодно отображением Я в Я: на нее наложено сильное ограничение Яе ^Я(11 Поэтому вместе со всеми х, в множестве нулей Я почти всюду может оказаться неизбежным включить еще какие-то уеЯ, а также «частично включить» какие-то г^.Я. Последнее выражение есть попытка передать возможность того, что ||Я(2)=0|| есть не 0 и не 1, так что г является нулем Я с «некоторой вероятностью».
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed