Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Но согласно (7) (АТ П Ц7)а есть нулевая функция на Ув и значит || У Е= А Р| Ц7||= = 0 для всех У ЕЕ V8• Следовательно,
||УеЛГ||<|[Уе2а«—»Уе2|| для всех У. (8)
Теперь для проверки (6) запишем левую и правую части отдельно (пользуясь
„истинностью“ формулы = Д *—» уи (и €= 2а <—»а е 2):
|| 2 е У || = Д || У е 2 ||' V || У е ЛГ ||; уекв
II ^ II — А !| ^е 2а ч > У е 2 ||.
• с/екв
Теперь ясно, что требуемое в (6) неравенство имеет место почленно: для ||УеА|| это следует из (8), а для ||Уе2||' — из того, что
| |У е 2а <—> У е 2 || = (|| УЕ 2а ||' V II У ^ 2 Ц) Д (|| У ЕЕ 2а || V |,| Уе2||'}
и || У е 2 ||' < || У е 2а ||' для всех У.
6.8. Предложение.
А/ссмолш регулярности
V* (Э‘/(1/ех)^Зу(уех АУ Г\х= 0))
«истинна».
Доказательство. Фиксируем ХеУв. Аксиома с «константой» X вместо х имеет вид К—>-5. Мы должны проверить, что ЦТ?—>-5|| = 1. Для этого достаточно установить, что || * ||Д || 5||' = 0, где
11*11= V IIГ €=* II; (9)
УЕ7В
|| в II'= Д 1|Уе^||'Д( V 112еУ|| Д||2еА|;). (10)
у еув г е Vе
Допустим, что || 7? || Д || 5 ||' = а ф 0 и придем к противоречию. Из (9) и (10) следует, что существует У Е~УВ такой, что || У ЕЕ X || Д а ф 0. Выберем У наименьшего ранга с этим свойством.
Снова из (9) и (10) видно, что
\\У ЕЕМ|| Да< V || 2е=У [| Д || 2 Е= А" ||. г?7в
Справа можно ограничиться суммированием по 2е/?(У), не изменив всей суммы, поэтому должен существовать такой 2е?>(У), что
||2е*|| А||К€=*||Да#0
и, значит, || 2 ЕЕ X || Д а = 0, но ранг 1 меньше ранга У, что противоречит вы бору У
136
7. АКСИОМЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ, ПОДСТАНОВКИ И ВЫБОРА «ИСТИННЫ»
7.1. Мы начнем этот параграф с описания еще двух полезных способов конструкции случайных множеств. Первый из них, очень употребительный, решает следующую задачу. Пусть задано множество объектов АеУв, 1'е/, и элементов
а.еВ. Предположим, что мы хотим построить случайное множество X, содержащее каждый Х{ с вероятностью а,. Такое X может не существовать, оказывается, однако, что всегда существует X с ЦХ<еХ|для всех 1<=1 и, более того, существует наименьшее X с таким свойством.
7.2. Лемма.
а) В условиях предыдущего пункта функция X от У
является случайным классом. X, эквивалентным случайному множеству. Кроме того, и если X' — любой случайный класс, для которого ||Хг^Х'Н^
при всех I, то || УеХ'Ц^ИУеХИ при всех У.
Мы будем говорить, что X (и любое эквивалентное ему множество) собирает X^ с вероятностями а,-
б) В тех же условиях функция 2 от У
является случайным классом I, эквивалентным случайному множеству. Если сверх того а. А а3 = 0 при всех Iф/, то \\2=ХгЦ^а1 и для любого случайного класса 1' с условиями \\2’ = Хй'5*а1 при всех I имеем ||У<з2'||ЗЦ|Уе2|| при всех У.
Мы будем говорить, что 2 склеено из X^ с вероятностями а*.
Доказательство. Экстенсиональность функций 2 и X определенных формулами (1) и (2) проверяется немедленно.
Существует такой ординал а, что А?е;У^ для всех I. Покажем, что Х~~Ха и 2 2Л. Имеем для любого У $=УВ
Рассматривая член с 2 = X; справа, получаем а? Д || У = Хі || <; ||У Є X; ||, откуда в силу (1) || У Є X || < Н У ЄІ, ||, чего достаточно г.о п. 6.3г.
Аналогично для любого У<=УВ
|| У Є= 2Л = V УЦУ = 2\ їда,-АЦДЄА(-|!= V и V Я( Д || У Є= -Х* || л
7 С=. Ч/В С
Л1|У = 2||.
Кроме того, || У Є Хі || = V І| У = 2 || А || У Є=Хг |], откуда следует, что
II УЄ= А || = V О* Д || У = Хі ||
(1)
|| УЄ2 || = у а, Д || УЄУі II
(2)
і|УЄАв||= V І|У=2)|Д|]ХєАа||= V V и у = АЦ дв,А||2 =
=А?||= V уа? ДІІУ = А?|| Д[|Х=Х?|[.
2ЄУВІ
щ Д И У Є Х? |К || У Є 2а || не помощью (2) || У Є 2 || < || У Є 2а |1. 10-1
137
Пусть теперь X, 2— какие-нибудь случайные множества со свойствами (1), (21. Из (1) ясно, что || Х^ЕЕХ \' ^а;. Если || Х[ е X' || аг для всех г, то.
II У е X’ || = V || Г = 2 || Д И 2 е X' || ^ V |[ У = Х[ (I Д Ц Х[ е Х'\\ 3* || Г е * № 2 $ в силу (1). Аналогично, если а,- Да/ = 0 для 1ф /, то из (2) видно, что а; д Д || У ? 2 || = а; Д Ц У ?Е Х1 ]|, откуда
а? Л II ^ II = V Я? Д II У ЕД<—? У || = а?; и \\Х1 = 2\\^а-1.
Если же || А; = 2' || ^аг для всех /, то ||Ге2Ч|>||Уе2Ч1Д||2' = А-1-|!=||КеА'?|| Д \ 2'=
= ^11>в<Л11Уе^ II.
так что ИУеЯ'МУегП.
Вот первый пример использования леммы 7.2а.
7.3. Предложение.
Аксиома бесконечности
Эх (0 е % Д уй («е X -* {а} е X))
«истинна».
Доказательство. Проверяя «истинность» аксиомы пары, мы для любых 0, №еУв построили (с точностью до эквивалентности) элемент 2<= Ув со свойством ||Уе2|| — IIУ= У V У= Й7|| для всех 7. Естественно обозначить такой элемент {[/, Щв. Соответственно путь {Ц}в — {и, 1!}в.
Приступим теперь к проверке аксиомы. Положим Х<>—0, Х1={0}в, ...
..., Хп — {Хп-1}в. Далее, обозначим через Х<=УВ элемент, который собирает все А; с вероятностями 1. Мы проверим, что
II 0 ? X Д уц (и ^ X -* X) || = 1.
Очевидно, достаточно установить, что для всех Не Vя имеем 1! НеАН^И {?7} ве еА, т. е. в силу (1)
VII и=. ха< V II {(/}5=а?ц.
?=0 ?=0
Действительно, ИЗ «ИСТИННОСТИ» формулы П&-*—»-{и} — {х} И ТОГО, ЧТО Х{+1 — = {А,}В, сразу же следует, что ||Н=А4]| = ||{1/}в=А<+1||.
Лемма 7.26 понадобится нам для доказательства следующего вспомогательного факта:
