Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
{У, У?}18}8.
Смысл конструкции: в каждом 1/л мы выбираем элемент входящий в Vл
«с наибольшей возможной вероятностью», но затем «пары» (?/а, №а.)в мы включаем в график У функции выбора по очереди, каждую последующую лишь в той мере, в какой раньше IIл «не учитывалась» в X.
Теперь подставим X, У вместо х, у в аксиому выбора и, обозначая через ?2, Я, 5, Г соответствующие формулы с константами, проверим, что ||<2|| = Ш1 =
= И5|| = У ГО = 1.
Мы будем постоянно пользоваться формулой, вытекающей из (2) и определения У:
Ц2еУ1 = У 112= <?/в, Ка)в\\/\аа. (10)
а
141
7.9. 110,11 = 1. По определению 0 это означает, что для 1^ЧВ должно быть . в.,
2 = (и,^>?
а это очевидно из (10).
7.10. Ц1?Ц = 1. По определению Я для любых [1, №1, №ге=Ув мы должны доказать неравенство
|| (и, Ш')В<=У || Л || {и, 1Р*)В ?= У || < || И71 = ||.
С помощью (10) левая часть переписывается в виде Vр|| и = иа || ЛII V* = ^ || д а^Д Н и=и91| Д |[ 1Г* =^0Ц Д а@.
Так как || Ц = Ца || Д || Ц = < || I/. = ?/0|| и || ?/.= Ц Д ал Д а3= О
при а ф\ (см. определение оа), в этой сумме можно оставить лишь члены с а = р. В каждом таком члене есть сомножитель || = ТГ'а /\ 11ТР'2 = || <
<11 ^ = ^||, что доказывает требуемое.
7.11. ||5Ц = 1. Это тождество равносильно формуле
Ц<1/. ^>ВеУ||<||У XII-но левая часть равна в силу (10):
V II и=.?/аП| ДII1Г = |1:д аа < V II и =Ц?/. || Д IIV = га*|| ДII иае Х\\ <
< V'IIи = 1/аII ЛII УаеХЦ = || 1/<=ХЦ.
а
7.12. Ц У* Ц = 1 - Мы должны доказать неравенство (для любого V (=УВ)
11^ехцд||^0||< V \\wsuw Д ||<?/, Г)В€=УЦ. (И)
Как мы уже неоднократно замечали,
V II у <= а |[ Д||У ^011= V 11.1/е АII Д||1/*0 II-
Ц(^У (X)
Поэтому в (И) достаточно ограничиться элемевтами и , а (= /. Далее,
И^/«^0 II = II а» (»е у.) П = У1|^ег/а|| = цгаеУЛ.
Поэтому (11) превращается в неравенство
0*/.еА|Л11*«ег/.||<у1П*ЕЕ/в|| Д||(У., 1Г>веУЦ. (12)
Для его доказательства применим индукцию а. При а=0 оно очевидно, ибо справа член с \У=\Уа совпадает с левой частью. Пусть оно верно для всех Р<а.
По определению ав
||?/веА|| =ааУ0/ II УаеА||А||1/е = Уа||).
3<а р
142
Подставив эту формулу в левую часть (12), мы получим, что нужно доказать два неравенства:
в.ДІІ^.ЄІ/в1І<У||^єг/в|ІАН<?/в.1Г)вєУ1І; (13)
II и9є=Х II л II «/(, = «/. II Л II *.€= ?/. ||< у ||1Гє?/в II Л II (и*> ||.
(14)
для всех Р<а.
Неравенство (13) очевидно: для его проверки достаточно рассмотреть справа член с Неравенство (14) следующим образом сводится к индуктив-
ному предположению. Левая часть (14) мажорируется величиной
IIи9є* || АIIи9 = иаII д І! иаєи9II<IIи9 = ил\\ А ||єи9н
по определению Далее, по индукции и в силу экстенсиональности
II ^ «И Л П ^ ^ ^ IIЛ Н Є II ^ V IIЄ и || д || (?/
. чг
• €=КII Д IIи = ил II< V II V<ЕЕиа || ДII (иа, Г)веу II.
V
что завершает проверку аксиомы выбора.
8. ГИПОТЕЗА КОНТИНУУМА «ЛОЖНА» ДЛЯ ПОДХОДЯЩИХ В
8.1. Напомним (лемма 7.2а), что мвожество X ?; VB собирает множества {Xj} с вероятностями ajSBjie/), если |]Ке * || = V II К= || Aai Для
i
всех Y.
Пользуясь этим определением, мы можем ввести полезное каноническое отображение универсума фон Неймана V в VB'. t |—» t. Пусть 0 = 0 (напомвим, что ЦК 6=0 || = 0 для всех К), и если? уже определены для всех sgVa, то для t €ЕУа+1 положим:
t собирает с вероятностями 1 все § для set. Иными словами, для любого
Ye=VB
lKefil = VH К= ?||. (1)
s^t ,
(Собирающий объект определен неоднозначно, а лишь с точностью до эквивалентности, так что, строго говоря, следовало бы указывать ранг i, например потребовать, чтобы он совпадал с рангом t. Это несущественно, так как нас будут интересовать лишь функции истинности, которые не меняются при замене любого объекта на эквивалентный ему.)
Теперь мы можем сформулировать дополнительные (кроме полноты) условия, которые будут наложены на булеву алгебру В для нужд этого параграфа. Напомним, что шо — первый бесконечный ординал, <ai — первый ординал мощности >Ш2; (Оа — первый ординал МОЩНОСТИ ><01.
8.2. Условия на В.
а) Условие счетности. Напомним его содержание: если дано семейство элементов {ai}, iel, с условиями 0, а<Д aj = 0 при 1ф}, то / не более чем счетно.
143
б) Существует семейство элементов 6 (я, a)e?, пронумерованное множеством ШоХ<02 со следующим свойством: если Z(cc) собирает элементы А, л<= со0 с вероятностями Ь(я, а), то l|Z(a)=Z(?)|| = 0 при аФ$.
Интуитивный смысл второго условия таков. Нетрудно видеть, что ||Z(a)s
=(о011 = 1- В самом деле, это условие равносильно || yx(xi=Z(а)—>-xe<?oli = l. т. е.
yXGVb, ||ZsZ(a)||<||ZsS0||.
что очевидно из (1), ибо <во собирает А с вероятностями 1, a Z(а) —с вероятностями Ъ {п, а)^1.
Таким образом, условие (8.26) означает, что мы можем набрать со2 различных подмножеств Z(a)S(D0, так что в наивном смысле слова card 5я (ш0) >®i,— это и есть отрицание континуум-гипотезы. Конечно, нужно еще проверить, что это интуитивное соображение можно превратить в доказательство.
8.3. Существование В с нужными свойствами. Можно было бы воспользоваться измеримыми множествами, как в § 3. Для разнообразия и сравнения с § 9 приведем еще одну конструкцию. Пусть {0, 1} дискретно двухточечное пространство; /=(0оХГйг, 5= {О, I}1 пространство векторов из 0 и 1, координаты которых перенумерованы множеством I. Введем на 5 топологию прямого произведения. Ее стандартный базис образует открытые подмножества, состоящие из всех векторов, у которых координаты на некотором конечном подмножестве Jczl фиксированы.
