Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
1 — класс й в В.
В алгебре В определены следующие операции:
а' — «дополнение» к элементу аеВ;
а Д 6 — «пересечение» элементов a, b В\
а \/ Ь — «объединение» элементов а, Ь^В,
которые удовлетворяют обычным тождествам и определяют на В структуру булевой алгебры. Мы пишем а^Ь, если а /\Ь'=а.
Более того, операции пересечения и произведения однозначно доопределяются на бесконечные семейства элементов и продолжают удовлетворять обычным тождествам, 'Которые выполняются в алгебре всех подмножеств любого множества. Мы не будем проверять это.
Отметим лишь, что здесь существенно отождествление множеств «по модулю нуля» и что тождества типа A mod ОД В mod 0 = —(A Hf^modO уже не переносятся на случай бесконечных семейств.
Наконец, В удовлетворяет условию счетности: если \ аа— 1 и аЛ/\аь—0 для то 0 не более чем для счетного мно-
жества индексов а. Это вытекает из положительности и аддитивности меры Лебега.
Технически говоря, В является полной булевой алгеброй с условием счетности. Ее точное происхождение и наличие на ней меры играют менее важную роль.
2.7. Интерпретационное множество. Мы введем сейчас большое множество М, каждая точка которого | будет состоять в приписывании некоторых значений всем символам алфавита языка L2Real. После фиксации | каждая формула языка окажется конкретным высказыванием об измеримых функциях (случайных величинах) на й и функционалах над ними (ср. § 2 гл. II).
Положим для этого:
R — множество измеримых вещественных функций на й;
R(1)—множество всевозможных отображений R—+R, которые удовлетворяют условию Iг
ух, у Я|множество {w й | к (w) = у (щ)} mod 0 <
<’{m> е=й| f (х) (w) =f (у) (ш)} mod 0.
116
Интуитивный смысл определения Л(1) таков. Если исключить в нем условие «mod 0», то требование будет означать просто, что значение случайной величины /(х) при каждом испытании должно определяться значением х при этом испытании. Конечно, это очень естественное требование, если мы хотим, чтобы / адекватно отображали свойства обыкновенных вещественно-значных функций в смысле § 1. Добавление «mod 0» ослабляет это условие до требования «с условной вероятностью 1».
Теперь вернемся к множеству М: одна точка состоит
в выборе
х*?Д Для каждого символа переменной х; f G Д(1) для каждого символа переменной функции f.
Опишем интерпретацию выражений языка, отвечающую выбо-
РУ ? _
а) Термы.. Пусть t—терм, Тогда P^R—случайная ве-
личина, определяемая очевидным индуктивным процессом.
б) Функция истинности || || на атомарных формулах. Пусть
Р—атомарная формула ty^t2 или ti=t2. Ее истинностным значением в точке ?еА? называется элемент алгебры В, который определяется так:
II tt < Ml (Q = №&\t) (ш) < t\ (w)} mod 0.
Аналогичное определение относится к ±x=t2.
в) Функция истинности II [| в общем случае. Общее определение индуктивно. Для соединения связками формулы те же, что и в п. 5.7 гл. II:
И"П*11=1№ llpV<3ll=llpIIVI|QI|. IIpAQ 11=11 РЦЛ1И.
И р-Q ||=|| р If v IIQII. II QII ?= (IIР ИЛ IIQII) V (IIРII' ЛИ Q Г).
В этих пяти формулах мы для краткости опустили указание |. Наконец,
|| ухР || (?) = Д 1[ Р || (V) (по всем отличающиеся от 5 лишь изменением х);
]IgxPjj(l) = y ЦР|| (^) (по тем же ?')> и аналогично с кванторами по переменным функциям.
Интуитивно значение функции истинности утверждения о случайных числах — это множество испытаний modO, при которых это утверждение становится истинным как факт о вещественных числах.
117
2.8. Лемма.
Если Р — замкнутая формула, то '||Р|| (g) не зависит от выбора и принимает только значения 0 или 1.
(Устанавливается несложным индуктивным рассуждением по длине описания Р. Удобнее доказать более общий факт: если Р — любая формула, а ? и не отличаются на переменных, входящих в Р свободно, то ||Р|| (^) =||Р|| (!'): ср. предложение 2.10 гл. II.)
Это общее значение ||Р||(?) мы можем обозначить просто ||Р||. Теперь мы в состоянии сформулировать основное определение этого параграфа.
2.9. Определение.
Формула Р языка L^Real называется «истинной», если ||Р!Кё) = =1 при всех geAf.
3. НЕВЫВОДИМОСТЬ КОНТИН:У УМ-ПИПОТЕЗЫ В La REAL
3.1. Основная лемма.
а) Правила вывода сохраняют «истинность»;
б) логические аксиомы первого порядка и их варианты в LoReal • «истинны»;
в) специальные аксиомы языка ЬгКеа! «истинны»;
г) КГ не «истинна», если card />«ц.
Отсюда вытекает
3.2 Теорема.
КГ не выводима из аксиом в языке I^Real.
В этом параграфе мы приведем те фрагменты доказательства основной леммы, которые существенны и для «настоящей» теоремы Коэна, а не только для нашей модельной задачи. Отметим, что теорема 3.2 слабее теоремы Коэна так как язык LsReal содержит гораздо меньше выразительных средств, чем язык теории множеств. Хотя на нем и формулируется континуум-гипотеза, в силу общих результатов Геделя нет никаких оснований ожидать, что воображаемое ее доказательство тоже обязано допускать формализацию на этом языке. Например, для вывода могло бы потребоваться введение функционалов от функций, функционалов от функционалов и т. д. Язык теории множеств, к которому мы вернемся в § 4, содержит средства для одновременного рассмотрения всех этих конечных и даже трансфинитных уровней.
