Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, «множество нулей» Я может оказаться больше, чем мы хотим, так что естественно ожидать затруднений в доказательстве того, что его нельзя отобразить на все Я (альтернатива Р\). Казалось бы, что обстоятельство сделает тривиальным опровержение альтернативы Р2 (-2 нельзя отобразить на множество нулей), однако и это неверно! Как мы уже отмечали, окажется, что Щх) ||=1 для многих х, не являющихся постоянными цело-значными функциями на П, да к тому же ||2(х)11 = 0,1 еще для каких-то х, так что «множество целых чисел» в нашей модели резко возросло.
Последнее замечание: в нашем обсуждении по существу возникло понятие «5-случайного множества», которое будет центральным в последующем изложении (см. § 4). Именно, «множе-
121
ство нулей Я» является случайным в том смысле, что для каждой геЯ утверждению «ге (нули Я)» естественно приписывается булево значение истинности ||Я(,г)=0||.
Теперь вернемся к прерванному доказательству того, что 1|КГ||=0.
3.8. Доказательство И/М| (|')=0. Согласно правилам, вычисления функции истинности находим
1| Л II (50 = V Л у {Ц Ь (X) = 01! ЛII у=^ й||}
(Я определена выше, ц пробегает все элементы Д(1), а х, у — все элементы Щ. Мы предположим, что || Р! (| (?') = 0_ и придем к противоречию. Обозначим это значение через Vй (§)•
_ F
_ Если оно 9^0, то а(?)Ф0 для какой-то конкретной функции ^Е:Д(1). Выберем ее и положим
а= Л V (V II х—х}\\ Д || у = в&) ||.
у х /?5/
Здесь V появилось как замена |(Я(х) = 0|| в силу 3.76. Далее
\\х = Х; II Д II у = ? Й II < I \у = ё(х{) ||. Пользуясь этим и дистрибутивностью, находим
а<Г\У\\У = ~ё(х1)\\.
У
В частности, для каждой х* вместо у
V II
Если, как мы предположили, аф0, то для каждого I найдется / (г) е/ такой, что
||хг=?(*да)) 11# 0.
Поскольку I несчетно и саге!/<саг<1 /, должен существовать такой индекс /ое/, что /о=1(1) для всех I из несчетного подмножества /0е/. Это, однако, противоречит условию счетности для В, потому что члены семейства Цхг=? (х || (ге/о) попарно не пересекаются. В самом деле,
II хи= в (*/о)И ЛII в Ц0) И<11 \= I! = °>
если 119#2-
Обратите внимание, в какой мере это рассуждение параллельно «наивному» из § 1. Функция §, по предположению, отображает
122
нули h на R «с ненулевой вероятностью», НО ТОЧНЫЙ СМЫСЛ ВЫ' числений едва ли поддается словесной формулировке.
Вычисление ||Z(y)||. Формула Z(y), «у — целое число», выписана в п. 2.3. Так как она входит в Р2, вычисление ||Z(y)|| необходимо для вычисления HP2II.
3.9. Лемма.
Пусть т= Тогда \\Z(y)\\(ii) — \/[\y = n\\={wG
nt=Z
^Qy]J(w) Z}mod Q.
Доказательство. Мы должны установить, что
VMI F.(0)=ОII') V (V II? (л) =7 (*+1) 110 V
f X
• v.l|7(y)=0||=vil7=«l|.
Проверим по очереди неравенство в обе стороны.
Неравенство Достаточно найти конкретную функцию
f^Rd), для которой соответствующий член левой части содержался бы в правой части.
Определим f, ПОЛОЖИВ р{х) (fly)=Sin2JTx(HD) (вместо sin2JtZ можно взять любую измеримую функцию R-*~R с периодом 1 и нулями только в целых точках). Легко видеть, что f(x)^R и f^RW. Тогда ||f(0)=0ir=0 и ||f(x)=;/(x+'l)r=0. Поэтому нужно лишь проверить, что
Л sin2 uy = 0 [[ < V II У — п 11>
а это очевидно.
Включение Достаточно проверить, что для любых фиксированных значений neZ, f^Rd), y^R имеем
j|^=/i||<6 ус,
где 6=||f(0)=o||' v(VII7Й=7(^+1) 1Г); с=\\ш = о\\. но
X
включение а<Ь'\/с равносильно тому, что а/\с'<Ь. Далее, в нашей ситуации
аЛс' = \\ И=п II All Т0/)=О\\'<\[}(п) = О\\'
(п под знаком / — постоянная случайная величина, всюду равна п). Поэтому достаточно убедиться, что
или, переходя к дополнениям, что
1)7»=оII>II /(0)=ОIIЛ(Л[[/“(*) =7(х+1)II).
X
Мы лишь увеличим правую часть, если оставим в ней только чле» ны, отвечающие х=0, 1, 2, ..., я—1, но пересечение этих членов, очевидно, равно
11/(0)=0||Д|| f(0) =7(1)=... =7(л)||<ц7(л)=оц.
3.10. Доказательство ||Л1К?/)=:0. По правилам вычисления ИЛИ, учитывая предыдущую лемму, находим
IIКII (5')=v Л (II? 00= о II' VN/ (V (й=гь н ЛII у=Т(х)т.
} у X п
Так как fe#*1), имеем ||х=я||г^||/{x)—f (л) ||, так что II * = « II Л \\~У = 1 ООН II 0=7 (^Il-
Дал ее, достаточно доказать, что член, отвечающий любому конкретному выбору f, равен 0. Допустим, что это не так, и придем к противоречию. Пусть аф0 — член, отвечающий f. По сказан» ному,
я<Л(1|Му)==0||'V V II У =1WII).
У П
В частности, для каждого /ё/ мы должны иметь (с Xj вместо у):
л «s VII л= ГЛ) I!
п
(учесть, что ||й(Л) =0|Г=0 в силу 5.76). Значит, для каждого / должно найтись такое целое число я (у) что \\xj=f (n(j)) ||=5=0. Так как J несчетно, существует я0 и несчетное подмножество /0s/ таких /о, что я(/о)=яо для всех /0е/0. Тогда \\xj=f (ло) ||, /е/0 образуют несчетное множество ненулевых попарно непересекающихся элементов В. Это противоречит условию счетности для В.
4. УНИВЕРСУМ НАД БУЛВВОЙ АЛГЕБРОЙ
4.1. В этом параграфе мы фиксируем некоторую полную булеву алгебру В (см. п. 2.6) и построим над ней универсум «5-случайных множеств». Он окажется моделью для аксиом Цермело— Френкеля в том же обобщенном смысле, в каком случайные числа были моделью вещественных чисел Я в § 3. Мы проверим
