Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определение Ува и других данных для предельных ординалов а. Мы просто полагаем У^ = {] , а все остальные данные уже
3<а р
построены.
4.3. Проверка корректности определений. Мы должны проверить (1)а+1 и (2)а+1 : свойства 4.2а и б при переходе от а к а —{— 1, очевидно, сохраняются. В свою очередь, единственное не совсем очевидное тождество получается, если в (1)я+1 взять X старым, а У
новым:
У(Х)= у (IIХ—гц л у (2)).
127
Оно проверяется так. Неравенство Зз получится, если записать правую часть в виде V (|) X=X || Д У (X)) с помощью (3). Неравенство
г
получится, если рассмотреть член с 1=Х и учесть, что ||Х= =Л|=1 для всех X (легкая индукция по а).
На этом конструкция булевозначного универсума закончена.
4.4. Примеры и замечания. Рассмотрим несколько частных случаев наших конструкций, чтобы прояснить их структуру.
а) Очевидно, У?={0}, ибо существует единственная „пустая“ функция, область определения которой является подмножеством Уо = 0. Вычислим У2=УВ и ^2* - Будем обозначать через {0}Ь?Е ^ V8,* функцию на одноэлементном множестве , принимающую значение Ь^В. Все они экстенсиональны, так что
Ув={0,{0}ь Для всех Ь^В}.
Из (4) следует, что
\\0<={0}ь\\=Ь.
Из (5) видно, что
\\0—{0}ь\\=Ь'.
Интуитивно эти формулы означают, что {0}ь состоит из одного элемента 0 «над Ь» и пусто вне Ь. Снова применяя (5), находим
1|{0}« = {0Ы1 = (Л'У Щ /\(аУ Ь’) = (а\Ь)\/ (а! /\Ь').
Таким образом, {0}а и {0}ь совпадают там, где они либо оба состоят из одного элемента 0, в согласии с интуицией.
Применяя (6), находим
Н {0}а е {0Ы1 = II {0}а= 0 || Л II 0 е {0Ы1 =*'ЛЪ
(единственно возможное включение типа 0^{0} имеет место там, где {0}а пусто, а {0}ь непусто).
Пусть, наконец, Х??У3 —некоторая экстенсиональная функция
на’подмножестве со значениями в В. Тогда по (6)
1Р-:е,{0Ы1=и х=и ц л «0 е{0}.ц=[|х=0 и л *
и в силу (5)
IIX = 0 II=( ЛII №а е А- II') ЛII0 е X II' -
а^В
128
Таким образом, \\Х=0\\ интуитивно означает дополнение к носителю X в В, а \\Х^{0}ь\\ есть множество, где одновременно X пусто и {0}ь непусто опять в соответствии с обычной формулой 0е{0). Это показывает, каким образом новые объекты X могут оказываться случайными элементами старых с ненулевой вероятностью.
б) Рассмотрим случай В={0,1}. Соответствующее вероятностное пространство одноточечное, и наши случайные множества должны стать детерминированными. Это и происходит: универсум' V3 естественно отображается на универсум фон Неймана V так, что если через fel/ обозначить образ X^.VB, то для всех X, У выполняются условия:
}\XeY\\=l<=z$XGY-, ||* = У||=1<==^=У.
NB :\\ 0 —? {0}о II = Ь но 0ф{0}о.
Для конструкции этого отображения положим 0—0, {0}~ = =={0}- Далее, допустив, что отображение —«-Vo с нужными
свойствами уже построено, продолжим его до аД-1. С этой целью новому элементуЛ'^Р^0,1} поставим в соответствие сначала то
Т Г / Q.i 1 чг t
подмножество Vi >, на котором X принимает значение 1, а затем образ этого подмножества в Va, т. е. элемент 3^ (VJ ~=Va+l ?
по определению, это и будет X.
Проверка свойств этого отображения предоставляется читателю.
в) Булевы функции истинности формул языка Li Set. Мы определим их по образцу § 2. Введем интерпретационный класс Ж: каждая точка ставит в соответствие любому символу перемен-
ной х языка Li Set некоторый объект х^~Х универсума Vs. Будем еще считать, что любая точка g отображает символ языка 0 в пустое множество 0 — VB0.
Если Р — атомарная формула х^у или х — у языка Set, то
значения 11Р || (5) определяются как \\х^ ^у^\\^В и \\х' = ух\\ ? В соответственно.
Для всех остальных формул Р языка значения ||Р||(?) затем определяются индуктивно, в точности теми же формулами, что в п. 2.7. Нужно лишь заметить, что хотя в вычислениях с кванторами приходится рассматривать выражения VАас по семей-
_ * * ствам, перенумерованным классом М, разные элементы семейства
образуют подмножество В, так что эти выражения имеют смысл. Мы будем называть формулу Р «истинной» (в модели V3), если IIPII’U) —1 Для всех и.«ложной», если ||Р[|(?)=0 для всех |.
9—1
129
Как в § 3 гл. II проверяется, что все тавтологии и логические аксиомы с кванторами «истинны» и что правила вывода сохраняют «истинность». Поэтому оставшаяся нам часть работы состоит в проверке «истинности» аксиом Цермело — Френкеля (при любой В) и «ложности» гипотезы континуума (при подходящей В).
5. АКСИОМА ОБЪЕМНОСТИ «ИСТИННА»
Мы начнем с доказательства нескольких соотношений, связывающих функции истинности. Прежде всего, из формулы (5), § 4 видно, что ]|X = У|| = ||У= = Х|| и ||2=Х|| = 1. Следующая лемма требует более кропотливой работы.
5.1. Лемма.
Для любых X, У, /<= Ув имеем ||* = У||Л1|у=2|:<цх = 2||; (1)
||* = У|1Л1|Ге=2||<||Хе2||; (2)
||*еЕУ||Л||У=2||<||Х€=2||. (3)
Доказательство, а) (3) верно, если ХеО(У). Действительно, тогда по формуле (5) § 4
||У=2|К||*е1Т \/.\\х&г1
откуда, пересекая с ||ХеУ||, находим требуемое.
б) (3) верно, если X, У Уд, 2€Е^+1. Действительно, выберем ?/?=0 (У) и применим уже доказанный частный случай (3):
1|г/ег||Л||г=2||<ц1/е2||.
