Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Доказуемое и недоказуемое
Автор: Манин Ю.И.Издательство: Советское радио
Год издания: 1979
Страницы: 89
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Скачать:
Кибернетика
Ю.И. МАНИН
ДОКАЗУЕМОЕ И НЕДОКАЗУЕМОЕ
Настоящая серия печатается по рекомендации IX Международного Совещания руководителей научно-технических издательств социалистических стран (июнь 1975 г.) В серии участвуют:
Издательство «Советское радио» (СССР) Издательство технической литературы
(ВНР)
Издательство «Техника» (ГДР)
Издательство н а у ч н о технической лите-
ратуры (ЧССР)
• КИБЕРНЕТИКА •
Ю. И. МАНИН
ДОКАЗУЕМОЕ И НЕДОКАЗУЕМОЕ
Москва «Советское радио» 1979
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...........................................
Глава I. Введение в формальные языки.....................
1. Общие сведения..............................................
2. Языки первого порядка.......................................
3. Начальная школа перевода....................................
Глава II. Истинность и выводимость.......................
1. Лемма об однозначном чтении.................................
2. Интерпретация; истинность; выразимость......................
3. Синтаксические свойства истинности..........................
4. Выводимость.................................................
5. Тавтологии и булевы алгебры.................................
6. Теорема Геделя о полноте....................................
7. Счетные модели и парадокс Сколема .......
8. Расширения языка............................................
9. Невыразимость истинности: язык SELF.........................
10. Язык арифметики Шмульяяа....................................
11. Невыразимость истинности: теорема Тарского .
12. Квантовая логика ...........................................
Глава III. Проблема континуума и форсинг . . . .
1. Задача; результат; идеи ..........
2. Язык вещественного анализа..................................
3. Невыводимость континуум-гипотезы в L2Real...................
4. Универсум над булевой алгеброй..............................
5. Аксиома объемности ««истинна»...............................
6. Аксиомы пары, суммы, степени и регулярности «истинны» .
7. Аксиомы бесконечности, подстановки и выбора «истинны» .
8. Гипотеза континуума «ложна» для подходящих В .
9. Какова мощность континуума? ......................
Заключение. О смысле математического текста.....................
Список литературы...............................................
Именной указатель...............................................
Предметный указатель ..................................... . .
8
8
11
15.
25
25
29
35
43
57
64
79
74
78
80
83
87
108-
108
114
118
124
130.
132
137
143-
147
150
161
163
165.
ББК 32.81
М23
УДК 51—007
Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. (Кибернетика). М., «Сов. радио», 1979, 168 с.
В наше время математические методы широко используются в естественных и гуманитарных науках. Это способствует росту интереса к самой сущности математического рассуждения и природе доказательства в широких кругах потребителей математики. В книге сделана попытка удовлетворить этот интерес, изложив на достаточно доступном уровне теорию математического доказательства и причины, по которым те или иные вопросы (типа гипотезы континуума) оказываются принципиально неразрешимыми. Изложение сопровождается экскурсами в физику, психологию и семиотику.
Книга предназначена для молодых ученых и всех, кто интересуется проблемами современной математики.
Рис. 5, табл. 3, табл. 36 назв.
Редакция кибернетической литературы
М ———? 60-79 2500000000
046 (01)-79
© Издательство «Советское радио», 1979
ПРЕДИСЛОВИЕ
Среди научно-технических достижений; связываемых с идеями кибернетики, наибольшее значение имеет широкое использование ЭВМ для решения задач расчета, моделирования и управления. Работа ЭВМ, если отвлечься от ее воплощения «в железе», состоит в обработке и порождении символьных текстов. Таким образом, она представляет собой языковую деятельность, понимаемую широко. До появления вычислительных машин языковая деятельность была исключительной прерогативой человека, и возможность ее частичного отчуждения вызвала огромный общественный интерес.
Этот интерес отразился в популярной формуле «мыслящие машины», в которой, к сожалению, совершена прискорбная подмена термина. Многочисленные благоглупости на тему о том, может ли машина мыслить, могли бы и не быть высказаны, если бы мы поняли, чего следует ожидать от мышления, кроме и помимо способности порождать тексты.
Языковая деятельность вычислительной машины является математической в некотором глубоком значении этого слова, даже когда речь идет о программе, переводящей с венгерского языка или сочиняющей одноголосные мелодии. Сама по себе «математическая речь» человека — удивительный пасынок-вундеркинд естественной речи. Структура и семантика языка математики в какой-то мере поняты благодаря ее постоянной связи с естественными науками и технологией, а также благодаря огромной работе специалистов по математической логике. Соответствующие проблемы для естественных языков зачастую еще даже не поставлены. Физик-теоретик лауреат Нобелевской премии Юджин Вигнер с большой проницательностью озаглавил одну из своих статей «О непостижимой эффективности математики в естественных науках», в то время как немногие мыслители рисковали удивляться эффективности функционирования языка вообще.
