Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
По этим причинам существующие описания интуитивного-смысла текстов обычно относятся к отдельным понятиям и элементарным мыслительным актам. Кроме философов и психологов замечательные образцы таких описаний оставили Б. Паскаль, П. С. Лаплас, А. Пуанкаре, Ж- Адамар. Общность анатомической и функциональной структуры центральной нервной системы разных людей, с одной стороны, и общность опыта и языковых навыков — с другой, позволяет вычленить некоторую совокупность элементарных единиц выражения для «языка интуитивных смыслов». Сюда могут попасть такие праматематические термины, как «количество», «близость»; на более высоком уровне — «отношение», «непрерывность/дискретность», на еще более высоком уровне— «алгоритм». В роли таких единиц выражения могут выступать также схематические рисунки.
Придание интуитивному понятию статуса термина в аксиоматизированной подсистеме математики выводит его с уровня «внутренней семантики» на уровень «внешней семантики». При этом уточнение смысла происходит за счет отбрасывания потенциальных возможностей, заключенных в интуитивном образе. Так, интуитивное понятие «актуально бесконечно малой величины» было полностью отброшено в классическом обосновании анализа, затем возродилось в точных понятиях «нильпотентного элемента» в алгебраической и дифференциальной геометрии наших дней и «бесконечно малого числа» в нестандартных моделях вещественного поля у логиков. Сохраняя некоторые черты интуитивного архетипа, эти «внешние» интерпретации бесконечно малой величины не совпадают и уводят мысль в разных направлениях.
Совокупность единиц внутреннего смысла индивидуально и исторически изменчива, открыта и слабо структурирована. Овладение новым материалом ведет к образованию новых единиц. Например, взаимодействие элементарных частиц между собой и с полем в физике может описываться на языке «графов Фейнмана». Каждый такой граф «есть» чертеж из точек разных сортов, соединенных
11—1
15»
ребрами-линиями разных сортов. Осмысливая данный граф «реа-диетически», физик увидит в части его ребер мировые линии элементарных частиц. Другая часть ребер, не поддающаяся такой интерпретации, будет сопоставлена с «виртуальными» частицами. Так возникнет удобная новая единица интуитивного смысла, отвечающая не наблюдаемым фактам, но промежуточным единицам выражения в принятом языке. Аналогично возникли «кварки», отвечающие неприводимым представлениям некоторой группы. Вопрос о «реальном существовании» виртуальных частиц или кварков нуждается в тонкой интерпретации, предшествующей попыткам его решения.
Заметим, наконец, что «внешнее» осмысление графа Фейнмана предполагает, например, умение написать по нему соответствующий член ряда теории возмущений, а «внешнее» осмысление кварков—-умение разложить тензорное произведение, двух представлений в сумму неприводимых компонент.
Всякая последовательная концепция оснований математики стремится ограничить фонд общепринятых единиц интуитивного смысла необходимым минимумом. При этом производится как отбор допустимых единиц выражения, так и ограничение объема их интуитивного содержания. После этого остальные приемлемые единицы интуиции структурируются их сведением к элементарным.
Принятие языка теории множеств, подготовленное «арифмети-зацией континуума», действительно позволило резко уменьшить необходимую для математика область элементарных единиц «внутреннего» смысла или по Н. Бурбаки «разных интуиций», не уменьшив объема классической математики. Научившись интуитивной интерпретации теоретико-множественных понятий и конструкций, математик мог перестать обращаться к интуиции как единственному источнику многих других понятий. «Кривая», например, стала сложным, но поддающимся недвусмысленной передаче теоретико-множественным конструктом.
Последующее изучение этого понятия могло обнаружить у него как и прежние «интуитивно очевидные» свойства, так и совершенно новые, вроде существования кривой Пеано, заполняющей квадрат, что казалось резко противоречащим интуиции (А. Пуанкаре). Теория множеств избавила большинство математиков от анархии различия индивидуальных интуиций, правда, ценой установления тирании меньшинства, пытающегося добиться интуитивного прояснения и согласования внутреннего смысла единственного основного понятия «множество», сначала казавшегося столь надежным.
Рассмотрим с этой точки зрения несколько альтернатив языка теории множеств. Первая из них — двойственный язык «свойств», «предикатов» и т. п. Его элементарное выражение «обладать свойством», заменяет выражение «быть элементом множества». Се-
154
мантика понятия «свойство», принимаемого за первоначальное, в интуиции не обязана быть полностью эквивалентной семантике' понятия «множество элементов с данным свойством», хотя бы потому, что определенность свойства «быть красным», совсем не требует определенности «множества красных предметов», учитывая хотя бы наличие шкалы оттенков цвета. Более того, в доканторов-ской математике язык свойств использовался именно для замены, табулизированной актуальной бесконечности. Действительно, интуитивно «проверка того, что объект обладает данным свойством» сильно отличается от «собирания воедино всех объектов с данным свойством».
