Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
10. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. — М.: Наука, 1966.
11. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость: Пер. с англ./ Под ред. В. А. Успенского. — М.: Мир, 1972.
12. Матиясевич Ю. В. Диофантовы множества. — УМН, 1972, т. 22, вып. 5, с. 185—222.
.13. Манин Ю. И. Десятая проблема Гильберта. — Современные проблемы математики/ Под ред. Р. В. Гамкрелндзе. — М.: ВИНИТИ, 1973, вып. 1, с. 5—37.
14. Манин Ю. И. Теорема Геделя. — Природа, 1975, № 2, с. 80—87.
15. Успенский В. А. Теорема Геделя о неполноте в элементарном изложении.— УМН, 1974, т. 29, вып. 1, с. 3—47.
Книги и статьи по проблемам оснований математики
16. Тарский А. Введение в логику и методологию естественных наук: Пер. с а игл. — М.: ИЛ, 1948.
17. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств: Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.
18 Тростников В. Н. Конструктивные процессы в математике.—М.: Наука, 1975.
19. Коэн П. Дж. Об основаниях теории множеств. — УМН, 1974, т. 29, вып. 5. С. 169—176. . ,
20. G?del К. What is Canotor’s continuum problem? — American Mathematical Monthly, 1947, v. 54, № 9.
21 Лакатос И. Доказательства и опровержения: Пер. с англ.— М.: Наука,
1967.
161
теорем, стандартизации языка и т. п. Допущение их в систему, однако, требует соблюдения определенных правил гигиены, главное из которых — непротиворечивость системы. Непротиворечивость должна быть обеспечена заранее посредством тщательного исследования синтаксиса языка, который уже должен проводиться без ' апелляции к актуальной бесконечности.
Возникшая в результате проведения этой программы совокупность формальных моделей математики и логики были важнейшим ее результатом. В частности, оформление точных математических понятий «вычислимости» и «алгорифма» и всей теории рекурсивных функций тесно связано с программой Гильберта. Невозможность ее выполнения в описанном объеме, открытая Геделем, составляет другой аспект проблемы. Трудно решить, свидетельствует ли эта невозможность в пользу принятия интуитивной теории множества, какой мы ее знаем сейчас, или ее отвержения; с теми же основаниями этот вопрос может ставиться уже для арифметики.
Во всяком случае, взгляд на математику как на формальную систему очень плодотворен, если осознавать его ограниченность. Он дает возможность достигнуть значительного взаимопонимания при обсуждении таких разных концепций, как интуиционистская логика и теоретическая физика, доставляя «пустые схемы» сложных структур. Непротиворечивость формальной системы, плодотворность которой проверена экспериментально, перестает быть первостепенной задачей. Выбор конкретно порождаемых текстов; в такой системе составляющих весьма незначительную долю всех допустимых текстов, все равно производится по неформализуемьш правилам, которые важнее формальной непротиворечивости, описываемой в терминах всех поддающихся порождению текстов.. Роль отбираемых текстов состоит в важнейшем, хотя и плохо изученном посредничестве между мозгом и другим мозгом, мозгом и внешним миром, а также мозгом и самим собой (текст есть внешняя память, текст наводит мост между геометрической и арифметической интуицией каждого индивидуального сознания, которые, возможно, опираются на существенно разные физиологические механизмы). В конечном счете, главный аспект текста есть его способность участвовать в таких актах посредничества, и только изучение этой способности может разрешить загадку математики. Старая метафора В. Гюго, сопоставляющего книгу и собор, имеет глубокий смысл, если структурированность текста составляет важнейшую предпосылку его социальной роли.
Все эти проблемы способствуют гуманитаризации математики; вместе со встречным движением математизации гуманитарного знания они помогают вернуть утраченное единство двух культур. В предвидении синтеза мы можем ожидать нового понимания «множества» как одной из самых удивительных мифологем нашего времени.
160
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Книги и статьи по математической логике и теории множеств
1. Шенфилд Дж. Математическая логика: Пер. с англ.—М.: Наука, 1975.
2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. — М.: Наука, 1976.
3. Клини С. К. Введение в метаматематику: Пер. с англ. — М: ИЛ, 1957.
4. Лнндон Р. Заметки по логике: Пер. с англ. — М: Мир, 1968.
5. Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с фраиц.—М.: Мир, 1965.
6. Rosser J. В. Logic for Mathematicians. — New York: Putnam, 1953.
7. Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза: Пер. с англ. — М.: Мир, 1969.
Книги и статьи по теории рекурсивных функций и алгоритмов
8. Марков А. А. Теория алгоритмов. — Труды мат. ин-та В. А. Стеклова АН СССР, 1954, т. 42.
9. Успенский В. А. Лекции о вычислимых функциях. — М.: Фнзматгиз, 1960.
10. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. — М.: Наука, 1966.
11. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость: Пер. с аигл./ Под ред. В. А. Успенского.—М.: Мир, 1972.
12. Матиясевич Ю. В. Диофантовы множества. — УМН, 1972, т. 22, вып. 5, с. 185—222.
13. Манин Ю. И. Десятая проблема Гильберта. — Современные проблемы математики/ Под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М.: ВИНИТИ, 1973, вып. 1, с. 5—37.
