Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Среди подгрупп произвольной группы @ простейшими по своему строению являются циклические подгруппы, т. е. подгруппы, порожденные одним элементом. Конструируются они следующим образом. В данном группе <S §3] ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
103
берем произвольный элемент g -ф е и полагаем g° = e, gn'^gng, ГВ=(ГТ (п = 0, 1, 2, ...).
Отсюда непосредственно следует, что для любых целых ¦шсел т, п имеют место соотношения
gmgn=gm+n, (gm)n=gnn-
Совокупность элементов вида gn (п — 0, ±1, ±2, . . .) сбудет подгруппой группы (В, порожденной элементом g. Наименьшее целое положительное число п, для которого :gn = е, называется порядком элемента g. Если gn Ф е при любом п = 1, 2, . . ., то элемент g называется элементом бесконечного порядка. Порядок единичного элемента е принимается равным нулю.
Циклическая подгруппа группы порожденная элементом g конечного порядка п ^ 1, состоит из элементов
в, g, g*-----Sn"1,
так как, взяв произвольное целое число т и разделив его на п, получим т — nq г, 0 ^ г <С п, откуда gm = gr. В циклической группе, порожденной элементом g беско-жечного порядка, все степени g0 = е, g, g'1, g2, . . (очевидно, различны.
Примером бесконечной циклической группы может служить группа {{0, 1, —1, 2, —2, . . .}, +, —), порождаемая элементом 1. Группа всех корней п-й степени из 1 (относительно операций умножения и обращения корней) при данном п ^ 1 порождается любым первообразным корнем п-й степени из 1 и является циклической группой конечного порядка, равного п.
Пусть р — фиксированное простое число. Каждая -циклическая группа й„ порядка рп, порожденная элементом а, обладает циклической подгруппой {ар} порядка Pn'1, порожденной элементом а". Тем самым определяется прямой спектр Sf1912->• . . ., предел которого (см. п. 2.3) называется группой типа р°°. Эта группа изоморфна группе по умножению всех корней из 1 степени P0 = I1 р, P2, ... и обозначается Zvс».
Группа <В называется коммутативной или абелевой, если ху = ух для любых элементов х, у из 6. Циклические 104
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
группы и группы типа являются простейшими примерами абелевых групп.
Пусть ® = (G, ¦, "х) — произвольная группа и а, Ь — некоторые ее элементы. Элемент
[а, b] = а-16_1а&
называется коммутатором элементов а, Ь группы О. Так как
ab = Ъа [а, й],
то элементы а, b перестановочны в группе @ тогда и только тогда, когда [а, b\ = е.
Совокупность К всех коммутаторов группы @ замкнута относительно операции обращения, так как
[a, bI"1 = b-la'lba = [b, а].
Подгруппа, порожденная совокупностью К *), состоит, очевидно, из всевозможных произведений элементов из К. Эта подгруппа называется коммутантом группы @ и обозначается G'.
Поскольку для любого внутреннего автоморфизма cpg группы (В имеет место равенство
[а, Ь] = g'1 [a, b] g =
= (g^ag)'1 (g^bg)'1 (g^ag) (g^bg) = ItMptf, 6<pgl,
то коммутант G' является нормальным делителем в группе В силу формул (7) [Gra, G'b] =G', и поэтому фактор-группа &/G' группы (В по ее коммутанту G' абелева.
Легко показать, что коммутант G' содержится в любом нормальном делителе N группы (В, фактор-группа ®/N по которому абелева.
Элемент z группы @ называется центральным в если он перестановочен с любым элементом g этой группы, т. е. если [z, g] = е для всех g из Совокупность Z всех центральных элементов группы (В замкнута, очевидно, относительно основных операций умножения и обращения в @ и поэтому является подгруппой группы которая называется центром группы Легко доказать, что подгруппа Z абелева.
*) Определение порождающей совокупности см. в п. 2.3. §3] ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
105
Так как лдебой внутренний автоморфизм <pg группы ® оставляет неподвижным каждый центральный элемент z этой группы:
zcpg = =
то подгруппа Z является нормальным делителем групп-пы
Группа @ будет абелевой тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств
G' = {<г}, Z = G.
Группа @ называется метабелевой, если коммутант G' содержится в центре Z этой группы: G' ^ Z.
Пусть ® — произвольная группа. Полагая @<0) = @ • и обозначая через @(«+D коммутант группы @<П), получим цепь последовательных коммутантов @(0> з ^ @С1> = @(2> ^ . . . Группа @ называется разрешимой, если — {е} для некоторого целого числа га ^ О, и локально разрешимой, если все конечно порожденные подгруппы в <3 разрешимы.
Для произвольных элементов Xu ..., Xn +1 [n ^ 2) группы @ положим
Ixi, . . ., Xn-^1] [[^i, . . ., Xn],
Цепь подгрупп (З1 = @ з @2 => <S3 з ... группы <3, в которой @п порождается всеми коммутаторами вида IgrI, • • ., gn] (gl, ¦ ¦ ; gn Є называется нижней
центральной цепью группы <3. Группа @ называется ниль-потентной, если @п — {е} для некоторого целого числа п 1. Ясно, что метабелевы группы — это те и только те нильпотентные группы для которых <§3 = {<?}.
Примеры и дополнения
1. Всякая абелева группа с конечным числом п порождающих разложима в декартово произведение не более чем п циклических подгрупп.
2. Для каждого непустого подмножества / множества N = = {2, 3, . . .} зададим полугруппу SI1 порождающими а, Ъ и определяющими соотношениями
