Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из университетского курса высшей алгебры известно, как строится кольцо многочленов SJS [х] над заданным полем SjS от одного неизвестного X и кольцо многочленов SfS [ж0, ..., Xi, . . .] относительно произвольного множества неизвестных х0, . . ... Известно также, что кольцо SJS [ж0, . . Х{., . . .] ассоциативно, коммутативно и не содержит делителей нуля и что его можно вложить в поле отношений или в поле рациональных дробей SJS ..., Xi, . . .). Будут предполагаться известными понятие корня многочлена, понятие неприводимого многочлена над полем, теорема существования поля разложения для многочлена степени п 1 с коэффициентами из произвольного поля. Предполагается также, что читатель знаком с техникой присоединения к заданному полю SJS неизвестных х0, . . ., Xi, . . ., а также корней а, Ь, ... многочленов из кольца SJS [яг]. Получающиеся при этом расширения поля SJS будут обозначаться через SJS (х0, . . ., . . .) или соответственно SJS (а, Ъ, . . .).
Идеал I произвольного кольца Я называется максимальным, если I Ф Ш ж между I и St нет других идеалов в И, отличных от I и от Я1. § 4] .J
КОЛЬЦА И ТЕЛА
ИЗ
Теорем-а 3. Если й — коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей е и I — максимальный идеал этого кольца, то фактор-кольцо по нему есть поле.
Действительно, кольцо Я/7, очевидно, коммутативно, ассоциативно и содержит единицу I + е. Поэтому достаточно доказать, лишь, что WI есть кольцо с делением. И I Рассмотрим уравнение ха = Ъ в Wl, где a Ф 0. Совокупность Ii = {i + ka \ і 6 I, к ? Я} является, очевидно, идеалом в Ш, содержащим I и элемент а = 0 + + еа. Так как a ?/, то I1 = Ж, и поэтому каждый элемент кольца St можно записать в виде і + ка, где і ? I, к ? St. Пусть b = і -(- ха. Тогда / + b — I + ха, т. е. b = ха. Итак, St// есть поле.
4.2. Алгебраически замкнутые поля. В дальнейшем будут использованы в качестве иллюстрации алгебраически замкнутые поля. Для удобства чтения данной книги приведем необходимые определения и результаты, отсылая читателя за деталями к книге Ван-дер-Вар-д е н а [10] (см. также Зарисский и Самюэль [15]).
Расширение St поля P называется алгебраическим над Р, если каждый элемент из St алгебраичен над Р, т. е. является корнем некоторого многочлена степени п ^ 1 из кольца P [я].
Произвольное расширение S поля P можно рассматривать как линейное пространство над полем Р. Расширение St называется конечным, если размерность этого пространства конечна, т. е. если в St существуют такие элементы еи . . ., еп, что всякий элемент X из St можно записать, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации этих элементов с коэффициентами из поля Р:
X = ktf 1 + . . . + knen (ku . . ., kn є P).
Система элементов et, . . ., en с этим свойством называется базой поля Я! над полем Р. Другими словами, база есть максимальная линейно независимая система элементов поля St относительно поля Р.
~ Легко доказываются следующие свойства расширений.
1) Всякое конечное расширение St поля P является алгебраическим.
8 А. И. Мадьцев 114
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. II
Действительно, в конечномерном линейном пространстве все базы состоят из одного и того же числа элементов. Поэтому если X Є Я, то среди степеней Ж0 = е, X, ... . . ., хпгде п — размерность Я над Р, имеется не более п независимых. Следовательно, существуют элементы Я0, . . йв в поле Р, которые не все равны нулю и для которых а0 + а4ж + . . . + ап_іжп-1 = 0. Таким образом, элемент X алгебраичен над Р.
2) Если Я — конечное расширение поля Q, a Q — конечное расширение поля P, то S — конечное расширение поля Р.
Пусть {аи . . ., ат) — база Q над P и {&ь . . ., Ьп} — база Я над Q. Тогда элементы afij (t = 1, . . ., т\ j = = 1, . . ., п) составляют, очевидно, базу S над Р.
3) Поле разложения R любого многочлена f (х) над полем P является конечным и, следовательно, алгебраическим.
Действительно, присоединение к P одного корня а многочлена / (ж) дает конечное расширение Pi с базой е, а, . . ., аг_1, где г — степень неприводимого многочлена из кольца P [ж], корнем которого является элемент а. Присоединяя к P1 другой корень Ъ многочлена / (ж), получим конечное расширение P2 поля P1, которое будет также конечным расширением поля Р, и т. д.
Методом трансфинитной индукции легко доказать, что поле разложения Я любой системы многочленов над полем P является алгебраическим над Р.
4) Если Я — алгебраическое расширение поля Q, a Q — алгебраическое расширение поля Р, то S — алгебраическое расширение поля Р.
В самом деле, если а ? Я, то а — корень некоторого многочлена с коэффициентами а0, . . ., ап из поля Q, которые в свою очередь алгебраичны над Р. Присоединяя а0, . . ., ап к полю Р, получим конечное расширение P', а поле Р'(а) конечно наді5'. Следовательно, Р'(а) конечно над P и потому элемент а алгебраичен над Р.
Поле ^ называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен из кольца [ж], имеющий степень п 1, обладает по крайней мере одним корнем в поле Основная теорема алгебры комплексных чисел утверждает, что поле всех комплексных чисел алгебраически замкнуто. кольца и тела
