Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Секвенцией для алгебраической системы SJl = = (M; Fu . . ., Fs; Pu . . ., Pt) назовем последовательность вида (Pi, Ct1, . . ., а„.), где аи . . ., ап. — какие-то элементы из M. Секвенцию (Pt, ait • • -, ^ni) назовем положительной, если в SJft имеем Pi (аи . . ., ап.) = И. Высотой системы SJl назовем пару (и, t — v), где и — порядок SJl, а V — число положительных секвенций у ЭЛ. Так как система SJl конечная и конечного типа, то числа и и и конечны. Единичная система имеет высоту (1, 0). Упорядочим высоты в словарном порядке, полагая
t
(и, v) < (ж, у) и<Сх\/ (и = X&v^.y),
где символом \/ обозначен союз «или». Ясно, что если какая-нибудь конечная система SJl отображена гомоморфно на CHCTeMySJl1, то высота SJl не меньше высоты SJli, причем высоты равны только в случае, когда гомоморфизм является изоморфизмом.
1 Итак, при разложении сомножителей в собственные
декартовы произведения высоты новых сомножителей меньше высот разлагаемых сомножителей. Отсюда видно, что процесс постепенного разложения сомножителей не может продолжаться бесконечно, что и требовалось.
J Высота одноэлементной алгебраической системы конеч-
ного типа, у которой лишь один главный предикат ложен, а остальные истинны, есть (1, 1). При разложении ее
6*84
0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
в декартово произведение должны появиться множители высоты (1, 0), которых в собственном произведении быть не может. Поэтому указанные одноэлементные системы абсолютно декартово неразложимы.
Если в системе 9К = ({a}; Fu . . ., Fs; P1, . . ., Pt)
Pi (а, ..., а) =-- Л, Pj (а, ...,а) = И (і = 1, ..., к; j = k + l, ..., t),
то
SI = I1Xl2X ... XWk,
где — одноэлементная система, у которой предикат Pi ложен, а остальные истинны.
2.6. Операции над кардинальными и порядковыми числами. Пусть а, Б — произвольные кардинальные числа и а — \ А \, 6 = | 2? |, AftB= 0.По определению полагаем:
аЪ = \АхВ\, а* = \Ав\,
где Ab есть множество всех отображений В в А. Легко доказать, что результаты операций зависят только от а и b и не зависят от выбора множеств А, В. Из простейших свойств объединения и декартова произведения множеств непосредственно следуют тождества:
а + (6 + с) = (а + ь) + с, а (Ьс) = (ab) С, а + Ь = Ь + а, аЬ=Ьа.
Легко доказываются также следующие формулы: аь + <=аъас, (а Ь)с = асЬс, (ab)c = abc.
Ставя в соответствие каждому подмножеству произвольного множества А характеристическую функцию этого подмножества (см. п. 2.1), получим взаимно однозначное отображение множества S (Л) на множество 2А, где 2 = = {0, 1}. Поэтому мощность множества S (А) всех под-МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ
85
множеств произвольного множества А равна 2* А' , т. е. справедлива формула
Из теоремы Кантора получаем
2а>а
для любого кардинального числа а.
¦Заметим, что вопрос о существовании промежуточной
мощности между х0 и 2К° есть проблема континуума.
Если дано произвольное множество {аг|і?/} кардинальных чисел Qi = I Af J и Aif]Aj=0 при іф], то, по определению, полагаем
2 a, = I UM П а. = I ITM
г ZI г?І іЄІ ІЄІ
Теорема 1. Если а г = а для всех і Cl, то
2а, = |/|а. (1)
і ?1
Действительно, если а = I Л |, то | / | а = [ і" X 4 Для каждого ??/ обозначим через (г, А) множество пар вида (і, а), где а?А. Тогда
\J(i,A) = IxA. (2)
Поскольку (і, А) П (/, А) = 0 при іф], то равенство (1) непосредственно следует из равенства (2), так как | (г, А) \ =
= \А\ = а.
Например, взяв в качестве I множество всех натуральных чисел, получим
о + а + о + • • • = **0а (3)
для любого кардинального числа а.
Отметим также следующие легко доказываемые равенства для кардинальных чисел:
N0N0=N0, а+Ь = а, (4)
где а бесконечно и f) конечно или счетно.86
0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
Действительно, множество пар (т, п) натуральных чисел легко занумеровать натуральными числами, выписывая последовательно пары для каждого значения суммы т + п = 0, 1, ... Если множество А бесконечно, то оно содержит счетное подмножество В = {а0, . . .}. Если С = А \ В, I D I = Б, то
A{jD = C[)(B[)D), \A{jD\ = \C\JB\ = \A\.
Понятие суммы двух порядоквых типов было определено в п. 1.7. Произведением ?a порядковых типов a = = о (А), ? = о (В) называется порядковый тип декартова произведения А X В, линейно упорядоченного лексикографически: (а, Ъ) -< (с, d) тогда и только тогда, когда а <С с или а = с, но при этом b <С d.
Например, <д2 есть порядковый тип мноя?ества пар {(1, п), (2, п)} (п = 1, 2, . . .), линейно упорядоченного лексикографически:
(1, 1) < (1, 2) < (1, 3) < . . .
. . . < (2, 1) < (2, 2) < (2, 3) < . . .
Следовательно, со2 = со + со. Произведение 2(0 есть порядковый тип множества пар {(гс, 1), (п, 2)} (п = = 1, 2, . . .), расположенных в порядке:
(1, 1) < (1, 2) < (2, 1) < (2, 2) < (З, 1) < (3, 2)<. . .
Следовательно, 2со = со.
Из определения, в частности, следует, что произведение a? двух порядковых чисел a, ?, как и их сумма a + ?, является порядковым числом.
Теорема 2. Пусть a, ?, ? — произвольные порядковые числа, причем ? <С a?. Тогда существуют такие порядковые числа г], что