Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
97
Действительно, если для любых элементов X, у из @ имеют место равенства
ху X / у = у\х,
то
(ху) у = (ху) / у = х, у (ух) = у \ (ух) = .г.
Обратно, если квазигруппа @ тотально симметрическая, то, полагая х / у = и, у \ х = v, будем иметь х = = иу, X = г/г;, откуда гг = од, у = ух и в силу коммутативности U = V, т. е. ху = х / у = у\х.
Квазигруппа с единицей называется лупой. Примитивная квазигруппа называется примитивной лупой, если, кроме тождеств 1), 2), она удовлетворяет еще тождеству 3) X / X = у \ у.
Примитивная лупа является лупой относительно умножения, так как из аксиом 1), 3) следует, что частное
е=X/X=у\у
есть двусторонняя единица. Обратно, если S — обыкновенная лупа с единицей е, то для любых элементов х, у из й имеют место равенства
ех = х, уе = у,
откуда X / X = е = у \ у, т.. е. й будет примитивной лупой относительно операций умножения, левого и правого делений.
Подквазигруппы луп называются подлупами. Для примитивных луп понятие подлупы совпадает с понятием подалгебры, т. е. непустое подмножество примитивной лупы будет подлупой тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно всех трех основных операций примитивной лупы: умножения, левого и правого делений.
3.3. Группы. Группой называется алгебра @ = = (G, ) типа <2, 1 >, основные операции которой свя-
заны на множестве G тождествами:
1) X (yz) = (ху) Z7
2) у~1 (ух) =х = (ху) у
где через г/-1 обозначен результат унарной операции примененной к элементу у. Подалгебры группы называются подгруппами.
7 А. И. Мальцев 98
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Полагая е — y~ly, будем иметь <ёх = "хе = х для всех х QG. Следовательно, элемент е является единицей группоида (G, • ). Так как всякий группоид может иметь не более одной единицы (см. п. 3.1), то е — фиксированный элемент группы, не зависящей от элемента у. Полагая в тождестве 2) X = е, будем иметь y~ly = е = уу'1. Поэтому элемент у~1 называется обратным для элемента у, а тождество 2) называется законом обращения.
В группе каждое из уравнений ах — Ь, у а = b имеет единственное решение соответственно X = a~lb, у = 6а-1. Для доказательства достаточно умножить обе части первого уравнения слева на аг1, a второго — справа на от1 и воспользоваться законом обращения. Таким образом, группа относительно операции умножения является лупой. Группу можно рассматривать, очевидно, и как примитивную лупу с операциями ху, х/ у = ху'1, у \ х = у~ 1X.
Обратно, на всякой ассоциативной квазигруппе (G, • ) можно определить унарную операцию обращения аг1 так, что алгебра (G, -,^1) будет группой. Действительно, пусть a QG ті е есть решение уравнения ах = а. Записывая произвольный элемент Ъ QG ъ виде Ъ = са, будем иметь, ввиду ассоциативности умножения, be = (са) е = с (ае) = = са = Ь. Следовательно, е — правая единица квазигруппы. Аналогично решение е' уравнения уа = а является левой единицей. Получаем е\ — ее ----- е. Таким образом, е есть единица. Обозначая через а-1 решение уравнения ах = е, будем иметь aa~la = а, откуда а~1а = е, так как уравнение ау — а имеет единственное решение. Таким образом, a~la = аа~1 = е и, следовательно, (G, -, _1) есть группа.
Приведенные рассуждения наводят на мысль, что группу можно рассматривать как алгебру с одной основной операцией умножения, так как операцию обращения можно определить (но не выразить) через операцию умножения. Однако в таком случае подалгебрами групп были бы подполугруппы, тогда как в теории групп основную роль играют подалгебры, замкнутые относительно двух операций — умножения и обращения.
Группу можно все же рассматривать как алгебру типа (2), т. "е. с одной основной бинарной операцией, только не с операцией умножения, а с операцией деления : , ГРУпііойдьі й группы
99
выражающейся' через операции умножения и обращения формулой
х : у = ху-1. (1)
В свою очередь операции умножения и обращения выражаются в группе через операцию деления формулами
ж-1 = [х : х) : х, (2)
ху = х : у'1 = х : ((у : у) : у). (3)
Из групповых аксиом вытекает, что операция деления в группе удовлетворяет тождествам
(ж : z) : (у : z) = х : у, (4)
ж : (у : у) = х, (5)
(ж : ж) : (у : z) ~ z : у. (6)
Обратно, если в группоиде (G, :) операция : удовлетворяет тождествам (4), (5), (6), то, определяя на множестве G операции умножения и обращения при помощи формул (2), (3), получим группу (G, •, _1), в которой операция : будет выражаться через операции умножения и обращения формулой (1).
Действительно, из тождеств (4), (5) следует
(х : у): у'1 = {х:у): ((у :у):у)=х:(у : у) = Xi (х : у'1) :у^=(х: у'1): ((у : у): Tf1) = х:(у:у) = х. Из (6) вытекает
(.X : у)'1 = ((.X: у): (х : у)): (х:у) = у: х. Следовательно, умножение ассоциативно: ж (t/z) = х\ (у : г-1)'1 = ж : (z'1: у) = ((ж : у"1) : у): (z: у) =
= (х : у'1): Z1 = (ху) z.
Из (2), (6), (5) имеем
(X'1Y1 = [((ж : ж): х) : ((х : х): ж)]: ((ж : ж): ж) = ж : (ж : ж) ж, откуда получаем
г/Г1 = У ¦ (Г1)-1 = V'У, (ху) у'1 = ж (г/г/"1) = х:(у:у)=х, У"1 (ух) = у'1: (у : ж"1)"1 = Zf1: (ж"1: у) = [(у : у): у]: (x~l: у) = = (у:у): ж"1 = (ж"1: (у: у))'1 = (ж"1)-1 = ж.
