Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ciibai-^abi =^biUbi' ^bai 106
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Доказать, что при І ф I' полугруппы SIj, SIj' не изоморфны (JI. А. Б окуть).
3. Для любого кардинального числа п 2 множество всех неизоморфных полугрупп с п порождающими имеет мощность
2й + nOi Аналогичный результат справедлив также для групп (см. Нейман [48]).
§ 4. Кольца и тела
4.1. Кольца. Кольцом называется алгебра типа (2, 1, 2), основные операции которой, будучи обозначены ж + у, —х, ху, связаны на основном множестве следующими тождественными соотношениями:
1) X + (у + z) = (х + у) + z,
2) X + У = У + х,
3) (—ж) + (х + у) = у,
4) (ж + у) Z = XZ + yz, X (у + z) = ху + XZ. Подалгебры колец называются подколъцами. Тождества 1), 2), 3) показывают, что для всякого
кольца й = (К, +, —, ¦) алгебра (К, —) является абелевой группой и называется аддитивной группой кольца A. Нуль этой группы называется нулем кольца U. Легко видеть, что всякая абелева группа (А, +, —) служит аддитивной группой некоторого кольца, например кольца {А, +, —, ¦) с нулевым умножением: ху = 0 (ж, у 6 А).
Для нуля 0 и для произвольных элементов х, у кольца получаем
ху = X (у + 0) = ху + хО, ух = (у + 0) ж = ух + Ож, откуда
жО — Ож = 0.
Далее имеем
0 = X (у + (—у)) = ху + ж С—у), 0 = (ж + (—ж)) у = XlJ + (—ж) у,
и поэтому
X (—у) = (—х) у — ху, х) (—у) = ху. КОЛЬЦА И ТЕЛА
107
Из дистрибутивных законов 4) методом полной индукции легко вывести общий дистрибутивный закон
+ ••• + Xm) (У\ + У2+ ••• +Уn)= S ZiVh
г,І
из которого, в свою очередь, для любых целых чисел т, п следует тождественное соотношение
(;тх) (пу) = (тп) (ху).
Подкольцо I кольца Й называется идеалом в й, если для любых элементов а из I и х из К элементы ах и ха принадлежат /.
, Поскольку всякий идеал кольца S является подгруппой аддитивной группы этого кольца, то можно говорить
0 смежных классах I + х кольца Я по данному идеалу I и о разложении кольца й по этому идеалу.
Теорема 1. Существует взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруенциями кольца A, при котором смежные классы кольца Ш по идеалу совпадают со смежными классами по отвечающей этому идеалу конгруенции.
Пусть 0 — конгруенция кольца К. Положим I = {а Є К I а60}.
Легко проверить, что I есть идеал в R и Ые = I + х для всех X ? К. Соответствие 0 —>- / будет взаимно однозначным. Действительно, если I — произвольный идеал в К, то, полагая
хду I + ж = I + у (х, у 6 К),
будем иметь конгруенцию 0, для которой идеал / совпадает с множеством элементов, сравнимых с 0.
Ввиду указанного соответствия фактор-кольцо й/0 по конгруенции 0 принято обозначать также WI, где
1 — идеал, отвечающий конгруенции 0.
Если Й = {К, +, —, • ) — кольцо и группоид (К, • ) обладает единицей, то эта единица называется единицей кольца A и обозначается 1 или е.
Элемент а кольца й с единицей 1 называется обратимым в Sf1 если существует элемент а* 6 К такой, что 108
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
аа* = а* а = 1. Элемент а* называется обратным для а и обозначается а-1.
Элемент а кольца Sl1 называется левым делителем нуля, осли а Ф 0 и существует ненулевой элемент х QK такой, что ах = 0. Аналогично онредёляется правый делитель нуля. Кольцо, в котором нет ни левых, ни правых делителей нуля, называется кольцом без делителей нуля.
Во всяком кольце Й без делителей нуля справедливы, очевидно, законы сокращения
ах = ay X = у, ха = уа х = у (а, х, у QK, аф 0).
Кольцо й называется кольцом с делением, если для любых элементов а, Ъ Q К, а Ф 0, каждое из уравнений
ах = Ъ, уа = Ъ
разрешимо в К. Если каждое из этих уравнений при а Ф 0 имеет одно и только одно решение и Я содержит единицу, то Я называется телом. Иначе говоря, телом называется кольцо с "делением, содержащее единицу и не имеющее делителей нуля. Подкольцо тела Я, также являющееся телом, называется подтелом тела Я.
Из приведенных определений следует, что подкольцо T тела Я будет подтелом тогда и только тогда, когда оно содержит единицу и является кольцом с делением.
Совокупность всех элементов тела, отличных от нуля, составляет по умножению лупу (см. п. 3.2). Отсюда, в частности, получаем, что тело Я не имеет идеалов, кроме {0} и Я. Действительно, если элемент а Ф 0 принадлежит идеалу I в Я, то /содержит элемент a (a\l) = 1 и поэтому I = Я.
Следует подчеркнуть, что, в то время как операции сложения X + у, умножения ху и взятия противоположного элемента —х в теле всюду определены, луповые операции левого и правого делений \, / являются частичными в теле. Поэтому относительно всех этих операций +, —, •, \, / тело является лишь частичной алгеброй.
Кольцо й называется ассоциативным, если для любых его элементов х, у, z имеет место ассоциативный закон
[ху) z = x (yz). КОЛЬЦА И ТЕЛА
109
Для элементов ж, у, z произвольного кольца Й элемент
Ix, у, z] — (ху) Z-X (Ijz)
называется ассоциатором этих элементов. Ясно, что кольцо будет ассоциативным тогда и только тогда, когда ассоциатор [х, у, z] любых его элементов х, у, z равен нулю.
