Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Кольцо Й называется альтернативным, если его элементы удовлетворяют альтернативным законам
[X, х, у] = 0, [ж, у, х] = 0, [у, х, х] = 0.
Легко показать, что каждый из этих законов является следствием двух других и, таким образом, в определении альтернативного кольца можно оставить лишь два тождества из указанных трех. Например, если в кольце Й имеют место первые два альтернативных закона, то для произвольных элементов х, у из й Ix + у, X jT у, х] = 0. Так как ассоциатор дистрибутивен по каждому своему аргументу, то
LX, X, х] + [г/, х, х\ + [х, у, x] + [у, у, x\ = 0,
откуда [у, х, х\ = 0.
Кольцо Й называется кольцом Ли, если для любых элементов х, у, z этого кольца имеют место следующие соотношения:
XX = 0, X (yz) + у (zx) + г (ху) = 0.
Отсюда следует, что никакое кольцо Ли не может иметь единицы и поэтому не может быть телом.
Кольцо й называется коммутативным, если для любых его элементов х, у имеет место коммутативный закон
ху = ух,
и антикоммутативным, если оно удовлетворяет тождественному соотношению
ху = — ух.
Для произвольных элементов х, у кольца Ли имеем (х + у) (х + у) = 0, откуда ху + ух = 0, т. е. всякое кольцо Ли антикоммутативно. 110
Классические алгебры
ІТл. it
Ассоциативное кольцо, удовлетворяющее закону идемпотентности
ЗСОО — ОС ^
называется кольцом Буля.
Легко показать, что кольцо Буля коммутативно и удовлетворяет тождеству
X + X — 0.
Действительно, ТОЯЇДЄСТВО хх — х влечет тождество' (х + у) (х + У) = X + у. Раскрывая скобки в левой части последнего тождества, получим х + у + ху + ух = — X + у, откуда ху + ух — 0. Полагая х = у, будем иметь X X = 0. Теперь, используя равенство х = — хг получим также ху — ух = 0, т. е. ху = ух.
Ассоциативное и коммутативное тело называется полем-В каждом поле SJS уравнение ах = b (а, b ? SJS, а Ф 0)
имеет единственное решение, обозначаемое дробью ~
и называемое частным от деления Ь на а. Все обычные правила действий с арифметическими дробями сохраняют свою силу и в произвольном поле. В частности,
ас а . , <-\\ а j_ с _ id -(- be а с ас
Тс = T (.c^u)' T1Y^ м ' T "d^bd'
Все элементы поля SJS, отличные от нуля, составляют относительно операций умножения ху и обращения х~х —
I
= — абелеву группу. Поскольку элемент О-1 не определен, то в поле операция обращения х~г является частичной.
Подкольцо P поля SJS1 также являющееся полем, называется подполем поля SjS- В свою очередь поле 5(? называется расширением своего подполя Р. Если M — произвольное множество элементов из поля SJS и P — некоторое подполе поля S?, то через P (M) принято обозначать пересечение всех подполей поля , содержащих P и M. Ясно, что P (M) есть подполе поля SJS. Оно называется расширением поля P путем присоединения элементов множества M из ПОЛЯ SJS.
Пусть P есть пересечение всех подтел тела Я1. Из определения тела непосредственно следует, что P — тело. КОЛЬЦА И ТЕЛА
112
В теле P уравнение ке-х = е (к — целое число, отличное от нуля) имеет единственное решение, которое мы обозначим через (ке)'1. Очевидно, имеем ке-(ке)~1 = (ке)~1-ке = = е. Для любых элементов а, Ь из P справедливо соотношение
(ке-а) (pe-b) = ka-pb = (кр) ab.
Поэтому равенства ке-х = е, ре-у — е (к Ф 0, р Ф 0) влекут кре-ху — е, т. е.
(ке-ре)'1 = (ке)-1 (ре)-1.
Полагая b = е, будем иметь также
(ке-а)-ре = ке-(а-ре) = кра.
Поэтому из ке-ре = ре-ке (к Ф 0) умножением слева и справа на (ке)'1 получаем
(ке)'1 (ре) - (ре) (ке)'1.
Полагая
г^ = те-(ке)-\
будем иметь
те . пе (тр-\~кп)е те пе тпе ке ре кре ' ке ре к ре
Таким образом, элементы те-(ке)~1 составляют поле, которое должно совпадать с Р. Поле Р, построенное таким образом, называется простым подполем тела Й.
Если те Ф пе при т Ф п, то соответствие те-(ке)-1 —>- тк-1 (к Ф 0) будет изоморфным отображением поля P на поле всех рациональных чисел. В этом случае данное тело Sl называется телом характеристики нуль.
Если же при некоторых т > п > 0 имеет место равенство те = пе, то (т — п) е = 0. Так как е Ф 0, то т — — п > 1. Среди целых чисел t > 1, удовлетворяющих условию te = 0, найдется наименьшее число р, которое и называется характеристикой тела A в рассматриваемом случае.
Теорема 2. Характеристика любого тела есть либо нуль, либо простое число. 112
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Действительно, если і <<. Pi р, 1<Ср2<Ср, P = — PiP2, то ріе-р2е = ре = 0, откуда либо pte — 0, либо рге = 0, что невозможно ввиду минимальности р.
Если характеристика тела Я есть простое число р, то минимальное подполе P состоит из элементов
О, е, 2е, . . (р — 1) е,
В самом деле, из ре — 0 следует те + пе — г^е, те-пе — гге, где через ri: г2 обозначены остатки от деления m + ви тп на р. Далее, если те Ф 0, то т, р взаимно просты, поэтому найдутся целые числа х, у такие, что тх Л- ру ~ 1, откуда е = хте + уре, т. е. е — хе-те или (те)"1 = хе. Таким образом, каждый элемент из P представим в виде re, где 0 г << р.
Отметим, что в теле характеристики нуль из равенства тх ~ 0 (т Ф 0) следует х = 0. В теле же простой характеристики р для любого элемента х имеют место равенства рх = ре-X = 0, и соотношение тх = 0 влечет за собою равенство х = 0 при любом х только в том случае, когда т не делится на р.
