Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Мальцев А.И. -> "Алгебраические системы" -> 26

Алгебраические системы - Мальцев А.И.

Мальцев А.И. Алгебраические системы — Наука, 1970. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiesistemi1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 133 >> Следующая


Ф = (а Є Л)

алгебраических систем SJla- Обозначим через яа проектирование Ъ на SQfta. Гомоморфизму зта отвечает ядерная конгруенция на ф (см. п. 2.4), которую мы обозначим 78

ОЁЩЙЕ ПОНЯТИЯ

tlVi. I

через ра. Если системы ЗЛа — алгебры, то

(9)

где ^ есть символ изоморфизма. Однако если SJia — не алгебры, то изоморфизм (9) может и не иметь места. Рассмотрим, например, декартово произведение одноэлементных моделей <{1}; Ч), ({2}; Ч), где Ч (х) означает унарный предикат чх — четное число». Это произведение состоит из единственной пары (1, 2) и Ч (1, 2) = Л. Оба проектирования тс і, я2 — гомоморфизмы. Однако фактор-модель Ф/ра состоит из класса {(1, 2)}, и в ней Ч (1, 2) = Л. Поэтому модели ({2}, Ч) и ®/р2 здесь не изоморфны.

Произвольную систему конгруенций оа (a ^ 4) на какой-нибудь алгебраической системе sJJl = (М, Q) условимся называть полной, если:

1) для каждой пары различных элементов а, Ь иЗ M в заданной системе {оа} существует конгруенция Oa, различающая а, Ь, т. е. а Ъ (оа), и

2) если для какого-нибудь главного предиката P и некоторых alt . . ап из M' P (CLi, . . ., ап) = Л, то найдется конгруенция Oa такая, что

X1 3= Cli(Oa), ...,Xn=Sdn (оа) ==> P (^1, ...,Xn)= Л

для любых Xi, ..., Xn из М.

Из полноты совокупности проектирований я„ декартова произведения П^а на его сомножители следует, что совокупность конгруенций ра заведомо удовлетворяет условию 1). Легко убедиться, что эта совокупность удовлетворяет и условию 2). Действительно, если для некоторого главного предиката P и некоторых элементов аи . . . . . ., OLn из произведения имеем P ((Ii, . . ., ап) = Л, то по определению декартова произведения для подходящего а имеем

P (CtiKa, . . ., апла) = Л.

Пусть Xi =Ui (ра) (І = 1, . . ., п) и, значит, XiTla — = агла. Если бы оказалось, что P (^i, . . ., хп) = И то мы бы имели P (х\па, ¦ . ., хппа) = И (ото бражение Jia — гомоморфизм) и, следовательно МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ

79

P IalJia, . . ., ahna) = И, вопреки предположению. Таким образом, конгруенции ра удовлетворяют требованию 2).

Систему конгруенций оа на произвольной алгебраической системе SR условимся называть независимой, если для произвольного отображения ср: а -> аа совокупности индексов А в систему Sl найдется такой элемент а ? М, что

а = аа (оа) для всех а ? А.

Из определения декартова произведения Ф = П®1^« непосредственно вйдно, что система ядерных конгруенций ра на 3D независима.

Итак, если алгебраическая система SJl разлагается в декартово произведение систем Sfta (а ? А), то на Sft существует полная независимая система конгруенций Oa (а 6 А) такая, что SIla есть взаимно однозначный гомоморфный образ системы Sft/cra.

Это утверждение допускает следующее обращение.

Теорема 5. Если на алгебраической системе 3)1 существует полная и назависимая система конгруенций оа (а 6 А), то Sft изоморфна декартову произведению фактор-системы Ш/оа (a ? А).

Обозначим через аоа смежный класс Sft по да, содержащий элемент а. Для каждого а ? Sft определим на Л функцию /а, полагая fa (а) = аоа, и рассмотрим отображение tp: а fa системы SOt в декартово произведение Ъ = [] SftZcra. Из независимости конгруенций oa следует, что ср есть гомоморфизм на Ф. Условие 1) в определении полноты показывает, что ср есть взаимно однозначное отображение. Наконец, условие 2) в определении полноты гарантирует, что отображение ф есть изоморфизм. В самом деле, пусть для. некоторого главного предиката P и каких-то элементов аи. . . ., ап из 231 Pial, . . ., ап) = Л. По условию 2) существует такой индекс а, что Pia1Oa, . . ., апоа) = = Л в SJlZaot. Но тогда P (fa . . ., /0п) = Л согласно определению декартова произведения. Аналогично проверяется справедливость соответствующего утверждения и для каждой главной операции. :

По поводу теоремы 5 и предшествующего ей утверждения можно сделать следующее замечание. Пусть модель Sft изоморфна декартову произведению Sft1 X ЯЛ2. Тогда 80

0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ

[Гл. 1

на SJi существуют конгруенции P1, р2, отвечающие проектированиям Ji1, я2 на SOfI1 и на SJi2. Мы не можем утверждать, что SJl1 изоморфна ЗК/рі и SJi2 изоморфна Wp2. Однако, согласно теореме 5, можно утверждать, что изоморфна декартову произведению SQiZp1 X SJl/p2. Эти тонкости исчезают, если рассматриваются алгебры. В этом случае в определении полноты исчезает условие 2) ж отображения 9Ji/pa на SJia являются изоморфизмами.

Отметим одно следствие теоремы 5. Индексом эквивалентности 0 на множестве M называется число (мощность множества) смежных классов MIQ. Из теоремы 5 и предшествующего ей результата получаем, что алгебраическая система SJi тогда и только тогда разлагается в декартово произведение конечных систем, когда на Sft существует полная независимая совокупность конгруенций конечного индекса.

В тесной связи с понятием декартова произведения алгебраических систем находится понятие финитной, аппроксимируемости.

Алгебраическая система SJi = (М, Q) называется финитно аппроксимируемой, если она обладает полной совокупностью конгруенций конечного индекса, другими словами, если для любого предиката Р, как главного, так и совпадающего с отношением равенства = в SJi5 и для каждой п-ки элементов at, . . ап ? M (п = п (P)), для которой P (аи .. ., ап) ~ JI, существует гомоморфизм <p: SJi -*¦ 9? в конечную систему 9?, при котором P (atф, . . ., апф) = Л.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 133 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed