Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сравнение /(7)==7 (mod (ге—то)) влечет равенство остатков
r(A + /(/) —m) = r(fc + /-m).
Следовательно, равенство (1) справедливо при к-\- f (j)>n.
Пусть к + /(/)< п. Так как j>n, то
/ (/) =/ (mod (/г—то)) и то </_(/)</(/) +А < и. 94
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Отсюда следует, что
r(A + /-TO) = r(A + /(/)—m) = A+/(/)-TO,
т. е. k-\-f(j)~m-\-r(k-{-]' — т) и равенство (1) доказано.
На совокупности чисел А = {1, 2, ...,/г—1} определим бинарную операцию
для всех і, у, к из А. Следовательно, группоид 21 = (А, есть полугруппа. Легко проверить, что полугруппа 21 порождается элементом 1, а числа т, п служат показателями ее относительно 1. Действительно, полагая I1 = 1, = Iй о 1, будем иметь
Следовательно, I1 < I2 < . . . < In-1, но Г = 1™.
Нам остается доказать лишь, что циклические полугруппы, имеющие одинаковые пары показателей, изоморфны.
Для пары (1, 1) это утверждение очевидно. Рассмотрим пару (тп, п), где 1 ^ т < п. Пусть т, п являются показателями циклической полугруппы S3 = (В, • ), отвечающими порождающему элементу 6, и Я — полугруппа, построенная выше, с носителем А = {1, 2, . . ., п — 1). Из определения показателей следует, что элементы Ь, Ь2, . . ., Ъ"-1 из S5 различны, но bn = Ът, Пусть к — произвольное целое число, большее п. Деля к — т на п — т, будем иметь к — т — (п — т) s + г, где 1, О ^ г < п — т. Следовательно, / (к) = т + г. Так как Ьп = Ьт, то
^m ^п-ту __ ут^п-т ?n-my—i _ ^m 71)s—1 __ ^ ^
ie/ = /(i + /).
В силу соотношения (1) имеем
(г о j) о к — і о (/ о к) = / (г + / + &)
lk = /(fc) = ( к [ т
при к<Сп,
то +rest — т,п — то) при к > п.
Отсюда
Ък = bmbh~m = Ът (bn-mfbr = bi+T = bf {k). §3]
ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
95
Таким образом,, B={b,b2, . .,,Ьп_1}. Остается показать, что отображение 6і —> Iі (і ==1, ...,п—1) является изоморфизмом полугруппы 35 на полугруппу 21.
Действительно, имеем
blbj = bi+3 = b1 (і+і), Iі (i+j) = Iі о lj.
Теорема 3 доказана полностью.
3.2. Квазигруппы и лупы. Группоид ® = (G, • ) называется квазигруппой, если в нем каждое из уравнений ах = Ь, у а = Ъ имеет решение и притом единственное. Подгруппоид квазигруппы <§ называется подквази-группой, если при любых a, b из ^ каждое из уравнений ах = Ь, у а = Ъ разрешимо в Jg.
Примитивной квазигруппой называется алгебра @ = = {G, •, /, \) типа (2, 2, 2), в которой для любых элементов х, у справедливы следующие соотношения:
1) (х / у) у = X, у (у \х) = X,
2) (ху) /у = х, у \ (ух) = х.
Операции \ называются соответственно правым
и левым делением в
Легко убедиться в том, что всякая примитивная квази-групйа будет квазигруппой относительно операции умножения. Действительно, решением уравнения ах = Ъ заведомо будет элемент а\Ь. Поскольку из равенства ах = b следует а \ (ах) = а\Ь, то ввиду 2) элемент х = а\Ь будет единственным решением уравнения ах = Ъ. Аналогично единственным решением уравнения уа = Ъ будет элемент у = b / а.
Обратно, пусть дана обыкновенная квазигруппа & = = (G, ¦ ). Обозначим через а\Ь единственное решение уравнения ах = Ь, а через b / а — единственное решение уравнения у а = Ъ, Символы X0 / можно рассматривать как новые операции в G. Полагая х = а \ b в уравнении ах = Ъиу = Ъ/аъ уравнении уа = Ъ, получим тождественные соотношения
(Ъ / a) a = b, a (a\b) = Ь.
Так как элемент Ъ является решением уравнения ах = ab, а элемент а удовлетворяет уравнению уЪ = ab, то также
а \ (ab) = Ъ, (ab) / b = а. 96
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Таким образом, алгебра @ = (G, •, /, \) есть примитивная квазигруппа.
Другими словами, между квазигруппами и примитивными квазигруппами существует тояодественное соответствие. Однако алгебраические свойства квазигрупп и примитивных квазигрупп различны. Например, подалгебры примитивных квазигрупп будут подквазигруппа-ми, тогда как подалгебры обычных квазигрупп будут лишь подгруппоидами.
Теорема 1. Отображение <р: <3 примитив-
ной квазигруппы О в примитивную квазигруппу будет гомоморфизмом, если для любых элементов х, у из @ имеет место соотношение
Ф {ху) = Ф (х) Ф (у). (1)
Действительно, возьмем произвольные элементы X, у из (?, и пусть Z = X /у. Тогда х = zy в силу аксиомы 1). Следовательно, ф (х) = ср (z) ср (у), откуда
Ф (х / у) = ф (z) = ф (х) / ф (у).
Аналогичные рассуждения показывают, что ф сохраняет и операцию левого деления, т. е.
ф (х\у) = ф (х) \ ф (у)
для всех х, у из Поэтому ф есть гомоморфизм.
Квазигруппа @ называется тотально симметрической (или !^-квазигруппой), если
(ху) у = X = у (ух)
для любых элементов X, у из
Легко проверить, что всякая тотально симметрическая квазигруппа & коммутативна. Действительно, пусть х, у — произвольные элементы из (В и ух — z. Тогда (ух) х = = ZX, откуда у = ZX. Умножая обе части последнего равенства слева на z, получим х = zy. Отсюда z = ху. Таким образом, ху — ух.
Теорема 2. Квазигруппа @ является тотально симметрической тогда и только тогда, когда все три операции в ней — умножение, левое и правое деление —• совпадают. §3] ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
